后缀数组
SA 数组
现在给你一个字符串，要在 \(\mathcal O(n\log n)\) 内解决如下问题：把这个字符串的所有非空后缀按字典序从小到大排序，然后按顺序输出后缀的第一个字符在原串中的位置。
暴力排是 \(\mathcal O(n^2\log n)\) 的，这里可以二分+哈希，即比较后缀时二分出 LCP 然后比较下一个字符，但也只能做到 \(\mathcal O(n\log^2n)\)，需要更优做法。
后缀数组基于倍增和基数排序，可以将时间复杂度做到 \(\mathcal O(n\log n)\)。
比较字符串肯定从第一位开始比，那就将字符串的所有字符排序，第一个字符不同的字符串就比好了，但第一个字符相同的，需要继续比较第二位、第三位等，复杂度就起飞了。
考虑如何优化第二位的比较，发现第 \(i\) 个后缀的第二个字符就是第 \(i+1\) 个后缀的第一个字符，因此将第一个字符作为第一关键字，将第二个字符作为第二关键字即可。
类似地，使用倍增，现在已经得到了长度为 \(w\) 的结果，对于 \([i,i+2w-1]\)，可以分成两段 \([i,i+w-1]\) 和 \([i+w,i+2w-1]\)，直接把它们的排名拿过来做双关键字排序即可。直到每个后缀的名次都不同就可以结束算法了。
考虑代码怎么写。
设 \(\text{sa}[i]\) 表示当前倍增长度时排名为 \(i\) 个后缀的起始位置，\(\text{rk}[i]\) 表示起始位置为 \(i\) 的后缀在当前轮的排名。倍增的时候，假设当前长度为 \(2w\)，我们手上就有上一轮的 \(\text{sa}\)，也就是长度为 \(w\) 的后缀数组。由于要做的是双关键字排序，因此再设 \(\text{tp}[i]\) 表示第二关键字排名为 \(i\) 个后缀的起始位置，处理 \(\text{tp}\) 的代码如下：
for (int i = n - w + 1; i <= n; i++) tp[++p] = i;
for (int i = 1; i <= n; i++) if (sa[i] > w) tp[++p] = sa[i] - w;
第一行的意思是，第二关键字为空的后缀肯定排在前面；第二行按照字典序大小处理有第二关键字的后缀，设其为起始位置为 \(i\)，那么它在本轮中对应的就是 \(i-w\) 这个后缀。
这时再做一个神秘的 sort 就能得到新一轮的 \(\text{sa}\)，这个稍后再说。
\(\text{rk}\) 可能会有重复，记录一下到底出现了几种排名。然后就做双关键字比较：
swap(rk, tp), p = rk[sa[1]] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) rk[sa[i]] = (tp[sa[i]] == tp[sa[i - 1]] && tp[sa[i] + w] == tp[sa[i - 1] + w]) ? p : ++p;
PS：这时候之前的 \(\text{tp}\) 和 \(p\) 没有用了，重新利用一下。
如果没有重复排名就退出：
if (p == n) return;
再来看这个神秘的 sort：
void sort() {
for (int i = 1; i <= m; i++) a[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) a[rk[i]]++;
for (int i = 1; i <= m; i++) a[i] += a[i - 1];
for (int i = n; i >= 1; i--) sa[a[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
}
其中 \(m\) 是当前字符集大小（有多少种 \(\text{rk}\)），前三步是在处理桶，第四步这是在？
考虑 \(w\rightarrow2w\) 时的变化，第一关键字的相对顺序不会改变，会变化的只有 \(\text{rk}\) 相同的后缀，倒序枚举，那么 \(a[\text{rk}[\text{tp}[i]]]\) 就是第一关键字相同的后缀中，第二关键字最大的后缀的排名，可以用来更新 \(\text{sa}\) 数组。
完整代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int n, m = 62, rk[N], tp[N], sa[N], a[N];
char s[N];
void init() {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (s[i] <= '9') rk[i] = s[i] - '0' + 1;
else if (s[i] <= 'Z') rk[i] = s[i] - 'A' + 11;
else rk[i] = s[i] - 'a' + 37;
tp[i] = i;
}
}
void sort() {
for (int i = 1; i <= m; i++) a[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) a[rk[i]]++;
for (int i = 1; i <= m; i++) a[i] += a[i - 1];
for (int i = n; i >= 1; i--) sa[a[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
}
void sufs() {
for (int w = 1, p = 0; w <= n; m = p, p = 0, w <<= 1) {
for (int i = n - w + 1; i <= n; i++) tp[++p] = i;
for (int i = 1; i <= n; i++) if (sa[i] > w) tp[++p] = sa[i] - w;
sort(), swap(rk, tp), p = rk[sa[1]] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) rk[sa[i]] = (tp[sa[i]] == tp[sa[i - 1]] && tp[sa[i] + w] == tp[sa[i - 1] + w]) ? p : ++p;
if (p == n) return;
}
}
int main() {
scanf("%s", s + 1), n = strlen(s + 1);
init(), sort(), sufs();
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sa[i]);
}
Height 数组
后缀数组很有用的一点是可以求出 \(\text{height}\) 数组，定义为：
即第 \(i\) 名和第 \(i-1\) 名后缀的最长公共前缀。
为了求出 \(\text{height}\) 数组，需要一个引理：
证明：当 \(\text{height}[\text{rk}[i-1]]\le1\) 时显然成立，考虑 \(\text{height}[\text{rk}[i-1]]>1\) 的情况。
根据定义，有 \(\text{lcp}(\text{sa}[\text{rk}[i-1]],\text{sa}[\text{rk}[i-1]-1])>1\)，意味着后缀 \(i-1\) 和 \(\text{sa}[\text{rk}[i-1]-1]\) 有长度为 \(\text{height}[\text{rk}[i-1]]\) 的 LCP，设其为 \(cS\)，其中 \(c\) 是一个字符，\(S\) 是一个长度为 \(\text{height}[\text{rk}[i-1]]-1\) 的字符串，由于 \(\text{height}[\text{rk}[i-1]]>1\)，其长度 \(>0\)，即非空。
那么后缀 \(i-1\) 可以表示成 \(cST\)，后缀 \(\text{sa}[\text{rk}[i-1]-1]\) 可以表示成 \(cSU\)，后缀 \(i\) 可以表示成 \(ST\)，后缀 \(\text{sa}[\text{rk}[i-1]-1]+1\) 可以表示成 \(SU\)。由后缀数组的定义，可知 \(U<T\)，\(U\) 可能为空串，但 \(T\) 非空。
由于后缀 \(\text{sa}[\text{rk}[i]-1]\) 仅比后缀 \(i\) 小一位，而 \(SU<ST\)，则：
\[SU\le\text{suffix}[\text{sa}[\text{rk}[i]-1]]<ST \]那么后缀 \(\text{sa}[\text{rk}[i]-1]\) 与后缀 \(i\) 至少有 LCP 为 \(S\)，也即 \(\text{height}[\text{rk}[i]]\ge\text{height}[\text{rk}[i-1]]-1\)。
根据这个引理直接做即可，复杂度是 \(\mathcal O(n)\) 的。
void geth() {
for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {
j -= !!j;
while (s[i + j] == s[sa[rk[i] - 1] + j]) j++;
h[rk[i]] = j;
}
}
\(\text{height}\) 数组有什么用呢，例如查询两个后缀 \(x,y\) 的 LCP，有：
感性理解一下，\(\text{height}\) 不变说明前面那些位一直没有变过，如果 \(\text{height}\) 减小了，由于 \(\text{sa}\) 是排好序的，不可能再变回来，因此取 \(\min\) 就行。这是个 RMQ 问题，可以用 ST 表做。
再比如说求本质不同子串数量，由于子串 = 后缀的前缀，只需要考虑加入一个后缀时的贡献即可。按照 SA 的顺序枚举，新加入的就是除去和上一个后缀的 LCP 的前缀，那么答案为：
还有更多的用处，到时候做到了再说吧。
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