CF1957E Carousel of Combinations

Carousel of Combinations

题目链接。

Problem

求：\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i\left(F(i,j)\bmod j\right)\)。

其中 \(F(i,j)\) 表示从 \(i\) 个数当中选 \(j\) 个的不同圆排列数。

最终答案对 \(10^9+7\) 取模。

注意区分题目中的两个取模的位置。

数据范围：\(t \le 10^5\)，\(n \le 10^6\)。

Sol

首先 \(F(i, j) = \frac{i!}{(i - j)!j} = \binom ij (j - 1)!\)。然后 \((j - 1)! \bmod j\) 只有在 \(j\) 是素数或者 \(j=4\) 的时候值不为 \(0\)。\(j = 4\) 的时候可以单独算。当 \(j \in \text{prime}\) 的时候，\(F(i, j) = -\binom ij \bmod j = -\binom{\lfloor i/j \rfloor}{j/j}\times \binom{i \bmod j}{j \bmod j} = -\lfloor \frac ij \rfloor\)。现在要求 \(\sum\limits_{p \in \text{prime}} ((\sum\limits_{i = 1}^{n} \lfloor \frac{i}{p} \rfloor) \bmod p)\)。这个东西直接做是会 T 的，但是 \(\lfloor \frac ip \rfloor\) 的总的断点个数是 \(\mathcal{O}(n \ln \ln n)\) 的。考虑对这个东西直接线性筛，枚举质数 \(p\)，然后就是做 \(\lfloor \frac np \rfloor\) 段区间加。这里可以直接差分，最后跑一遍前缀和即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
#define fi first
#define se second
const int mod = 1e9 + 7;
int vis[1000005], prC, pri[1000005];
ll ans[1000005];
void Init(int n = 1e6) {
   for (int i = 2; i <= n; ++i) {
   	if (!vis[i]) pri[++prC] = i;
   	for (int j = 1; j <= prC && i * pri[j] <= n; ++j) {
   		vis[i * pri[j]] = 1;
   		if (i % pri[j] == 0) break;
   	}
   }
   vis[4] = 0;
   for (int i = 2; i <= n; ++i) {
   	if (vis[i]) continue;
   	ll t = i == 4 ? 2 : i - 1;
   	for (int j = 1, k = i; k <= n; ++j, k += i) {
   		ll w = j * t % i;
   		(ans[k] += w) %= mod;
   		if (k + i <= n) (ans[k + i] -= w) %= mod;
   	}
   }
   for (int i = 1; i <= n; ++i) (ans[i] += ans[i - 1] + mod) %= mod;
   for (int i = 1; i <= n; ++i) (ans[i] += ans[i - 1] + mod) %= mod;
}
int n;
void Solve() {
   scanf("%d", &n);
   printf("%lld\n", ans[n]);
}
int main() {
   Init();
   int T;
   scanf("%d", &T);
   while (T--)
   	Solve();
   return 0;
}