简单数数

AGC013D

题面

一开始有 \(n\) 个颜色为黑白的球，但不知道黑白色分别有多少，\(m\) 次操作，每次先拿出一个球，再放入黑白球各一个，再拿出一个球，最后拿出的球按顺序排列会形成一个颜色序列，求颜色序列有多少种。答案对 \(10^9+7\)​ 取模。

思路

首先，我们发现题目并没有给定初始状态，考虑枚举，一看 \(n\le 3000\)，直接放弃尝试（在后面求解的转化中也会发现这没有用）。

然后再看到操作，考虑将一次完整的操作拆成三个部分，以操作次数为纵轴、排列中黑球的数量（指长度为 \(n\) 的球的“排列”）为横轴，如下图所示：

那么问题就转化为了寻找本质不同的折线（也就是不平行）的种数，为什么呢？显然，如果平行的话，操作就是一样的，那序列肯定相同（实在不理解可以自己画图）。而从同一种排列按照操作转移，可以统计出从一个点开始的所有情况并且不会重复。

于是，我们设计状态 \(f(i,j)\) 表示操作了 \(i\) 次，排列中有 \(j\) 个黑球。而处理平行的情况，就用到了等价类的思想，如果这条折线碰到了下界（黑球的数量为零），我们就将其计入答案。那么状态就改为 \(f(i,j,0/1)\) 表示当前第 \(i\) 次操作，有 \(j\) 个点，有没有碰到下界。最后 \(ans= \sum f(n,i,1)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=3e3+1;
const int mod=1e9+7;
int n,m,ans;
int dp[maxn][maxn][2];//dp[i][j][1/0]表示第i次操作，有j个球，以及是否碰到过零 
signed main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i)dp[0][i][0]=1;
	dp[0][0][1]=1;
	for(int i=0;i<m;++i)//操作 
	{
		for(int j=0;j<=n;++j)//黑棋数 
		{
			dp[i][j][1]%=mod;
			dp[i][j][0]%=mod;
			if(j>=1)
			{
				if(j==1)//可以碰到下界 
				{
					dp[i+1][j-1][1]+=dp[i][j][0];//拿走一个 
					dp[i+1][j][1]+=dp[i][j][0];//原封不动 
				}
				else//碰不到一点 
				{
					dp[i+1][j-1][0]+=dp[i][j][0]; 
					dp[i+1][j][0]+=dp[i][j][0];
				}
				dp[i+1][j-1][1]+=dp[i][j][1];//以前 
				dp[i+1][j][1]+=dp[i][j][1];//碰到过 
			}
			if(j+1<=n)//可以放一个
			{
				dp[i+1][j+1][1]+=dp[i][j][1];
				dp[i+1][j][1]+=dp[i][j][1];
				dp[i+1][j+1][0]+=dp[i][j][0];
				dp[i+1][j][0]+=dp[i][j][0];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;++i)
		ans=(ans+dp[m][i][1])%mod;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

不定方程解数计算

题面

有不定方程 \(X_1,X_2+...+X_n=S\)，每个量都是非负整数，对于每个 \(X_i\)，有限制 \(X_i\le K\)，计数这样的不定方程的解数（\(n\le 10^5,K\le10^5\)）

思路

不好直接做，考虑容斥。枚举至少有几个大于 \(K\)，\(S\) 变成 \(S-K\times i\)，转化为没有限制的问题，然后就是插板法

CCPC2023秦皇岛热身赛B

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CF1895F

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AGC013E

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CSA

题面

给定一棵树，求有多少个排列 \(p_1,p_2,p_3,...p_n\) 满足：\(p_1,p_2...p_n\) 的任意一个前缀 \(p_1,p _2...p_i\) 在树上是联通的

树的大小 \(n\le 10^6\)​

思路

ARC101E

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LIS

题面

求有多少个长度为 \(n\) 的序列，元素都是 \([1,m]\) 的整数，LIS 长度为 \(k\) (LIS 是严格的)

\(n\le 1000,m\le 10\)​

CF1909F2

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CF156D

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AGC030D

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NOI2015寿司晚宴

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