数论学习笔记
数论学习笔记
目录：
1、逻辑、集合与计数
2、归纳与递推
3、算术基本定理
4、同余
5、群论
一、逻辑、集合与计数
1.1充分条件、必要条件与充要条件
| 若 \(p\Rightarrow q\)，则 \(p\) 是 \(q\) 的充分条件，\(q\) 是 \(p\) 的必要条件 |
|---|
| \(p\) 是 \(q\) 的充分不必要 条件 | \(p\Rightarrow q\) 且 \(q\nRightarrow p\) |
|---|---|
| \(p\) 是 \(q\) 的必要不充分 条件 | \(p\nRightarrow q\) 且 \(q\Rightarrow p\) |
| \(p\) 是 \(q\) 的充要 条件 | \(p\Leftrightarrow q\) |
| \(p\) 是 \(q\) 的既不充分也不必要 条件 | \(p\nRightarrow q\) 且 \(q\nRightarrow p\) |
1.1.1全称量词 任意 \(\forall\)
1.1.2存在量词 存在 \(\exists\)
1.2集合与元素
1.2.1集合间的基本关系
集合与元素的关系: 若 a 属于集合 A,记作 a\(\in\)A; 若 b 不属于集合 A,记作 b\(\notin\)A
子集: 集合 A 中所有元素都在集合 B 中,记作 A\(\subseteq\)B
真子集: 集合 A 是集合 B 的真子集,且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中,记作 A\(\subsetneqq\)B
集合相等: 集合 A,B 中元素相同,记作 A=B
1.2.2集合的基本运算
集合的并集,记作 \(A\cup B=\{x\mid x\in A\) 或 \(x\in B\}\)
集合的交集,记作 \(A\cap B=\{x\mid x\in A\) 且 \(x\in B\}\)
集合的补集,记作\(\complement{}_U\!A=\{x\mid x\in U\) 且 \(x\notin A\}\)
1.3映射(计数)
映射: 如果按照某种确定的对应关系 \(f\),是对于集合 A 中的任意 一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 \(f(x)\)与之对应,记作 \(f: A\rightarrow B\)
满射: f(A)=B
单射: 对于集合 A 中任意不同的两个元素 \(x_1\ne x_2\),均有 \(f(x_1)\ne f(x_2)\)
一一映射: 映射 \(f\)既是单射又是满射
二、归纳与递推
2.1等差、等比数列基础
2.1.1等差数列求和公式: \(S_n=\tfrac{(a_1+a_n)n}{2}=na_1+\tfrac{n(n-1)}{2}d\)
2.1.2等比数列求和公式: \(S_n=\tfrac{a_1(1-q_n)}{1-q}\)
2.1.3平方和公式: \(\sum_{i=1}^n i^2\)=\(\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
2.1.4立方和公式: \(\sum_{i=1}^ni^3\)=\((\tfrac{n(n+1)}{2})^2\)
2.2裂项
2.2.1Abel恒等式: \(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i=S_nb_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}S_i(b_{i+1}-b_i)\)
2.3数学归纳法
方法:先猜结论,再证明\(a_1\)成立,最后证明\(a_k\)成立时\(a_{k+1}\)也成立即可
2.3.1基本不等式：对于任意正实数\(x,y\),均有\((\tfrac{x+y}{2})^2\ge xy\)
2.3.1均值不等式: 对于任意正实数\(x_1,x_2,...,x_n\),均有\((\tfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n})^2\ge x_1x_2...x_n\)
2.4递推计数
递推公式向通项公式的转化:
2.4.1 \(a_{n+1}=a_n+f(n)\)
2.4.2 \(\tfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)
2.4.3 \(a_{n+1}=Pa_n+q\rightarrow a_{n+1}+k=P(a_n+k)\)(待定系数法)
2.4.4 \(a_{n+1}=Pa_n+f(n)\rightarrow a_{n+1}+g(n+1)=k(a_n+g(n))\)(待定系数法)
2.4.5 \(a_{n+1}=\tfrac{ma_n}{Pa_n+q}\rightarrow \tfrac{1}{a_{n+1}}=\tfrac{1}{a_n}\times\tfrac{q}{m}+\tfrac{p}{m}\)(取倒数法)
2.4.6 \(a_{n+2}=Pa_{n+1}+qa_n\)
\(\begin{matrix}a_{n+2}-Pa_{n+1}-qa_n=0\\x^{n+2}-Px^{n+1}-qx^n=0\\x^2-Px-q=0\\x_1\ne x_2: C_1x_1^n+C_2x_2^n=a_n\\x_1\ne x_2: C_1x_1^n+C_2nx_2^n=a_n\end{matrix}\)
三、算数基本定理
3.1整除
定义: 设 \(a,b\in Z,a\ne0\) ,如果\(\exists q\in Z\),使得\(b=aq\),那么就说明\(b\)可以被\(a\)整除,记作\(a\mid b\); \(b\)不被\(a\)整除记作\(a\nmid b\)
可传递性: \(a\mid b\) 且 \(b\mid c\Rightarrow a\mid c\)
可加减性: \(n\mid a\) 且 \(n\mid b\Rightarrow n\mid a\pm b\)
可乘性: \(a\mid b\) 且 \(c\mid d\Rightarrow ac\mid bd\)
3.2最大公因数与最小公倍数
3.2.1最大公因数和最小公倍数
\(gcd: max\{m,m\mid a\) 且 \(m\mid b\}\),记作 \((a,b)\)
\(lcm: min\{n,a\mid n\) 且 \(b\mid n,n>0\}\),记作\([a,b]\)
3.2.2带余除法
\(\forall a,b>0,\exists1 q,r\)满足\(\begin{cases}a=bq+r\\0\le r\le b-1\end{cases}\)
3.2.3公倍数能被最小公倍数整除
\(a\mid n\) 且$ b\mid n\Rightarrow lcm(a,b)\mid n$
3.2.4引理
\((a,b)=(a-b.b)\)
若 \(a\div b=q...r,\) 则 \((a,b)=(b,r)\)
3.2.5裴蜀定理(贝祖定理)
\(\forall a,b>0,\exists x,y\) 使得$ ax+by=(a,b)$
\((a,b)=min(ax+by>0)\)
3.2.6推论
公因数整除最大公因数
\(\forall x\in \{a,b\) 的公因数 \(\} \mid (a,b)\)
整除的互质可消性
\(\exists x,y,\) 使得 \(ax+by=1((a,b)=1),\)
\(c=acx+bcy,\)
\(a\mid bc,\)
\(a\mid bcy,\)
\(a\mid acx,\)
\(a\mid acx+bcy=c\)
3.3算数基本定理
3.3.1质数
存在无穷多个质数
如果\(p\nmid a\),则\((p,a)=1\)
\(p\)是质数,则若\(p\mid ab\Rightarrow p\mid a\) 或 \(p\mid b\)
3.3.2算数基本定理
一个大于1的正整数\(n\)可以分解为若干质数的乘积,若不考虑因子之间的顺序,这种分解方式是唯一的
\(n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_k^{e_k}\),称为\(n\)的标准分解式
3.3.3 $v_p(n): $ 表示 \(n\) 的标准分解式中所含质因子 \(p\) 的质数
\(v_p(n!)=\sum\limits_{i=1}^\infty[\tfrac{n}{p_i}]\)
\(v_p(C_n^m)=\sum\limits_{i=1}^\infty([\tfrac{n}{p_i}]-[\tfrac{m}{p_i}]-[\tfrac{n-m}{p_i}])\)
3.3.4推论
设正整数\(n\)的标准分解式为: \(n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_k^{e_k}\)
设\(m=p_1^{f_1}p_2^{f_2}...p_k^{f_k}\),则\(m\mid n\Leftrightarrow f_i\le e_i(1\le i\le k)\)
因数个数公式: \((e_1+1)(e_2+2)...(e_k+k)\)
因数和公式:\(\sigma(n)=\tfrac{p_1^{e_1+1}-1}{p_1-1}.\tfrac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}...\tfrac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}\)
3.3.5定理
最大公因数: \((m,n)=p_1^{min\{f_1,e_1\}}p_2^{min\{f_2,e_2\}}...p_k^{min\{f_k,e_k\}}\)
最小公倍数: \([m,n]=p_1^{max\{f_1,e_1\}}p_2^{max\{f_2,e_2\}}...p_k^{max\{f_k,e_k\}}\)
3.3.6推论
\((ma,mb)=m(a,b)\)
\((a,uv)=(a,(a,u)v)\)
\((u,v)=1\Rightarrow(a,uv)=(a,u)(a,v)\)
\((a,b)=1,(c,d)=1\Rightarrow(ab,cd)=(a,c)(a,d)(b,c)(b,d)\)
\((a,b)=1\Rightarrow(a_k,b_k)=1\)
最大公因数与最小公倍数的的乘积等于两数的乘积
设 \((a,b)=ma=mx,b=my(mx,my)=m,\)
\((x,y)=m,\)
\((x,y)=1,\)
\([x,y]=xy,\)
\([mx,my]=mxy,\)
\(ab=m_2xy\)
四、同余
4.1同余
4.1.1同余
\(n\mid a-b\Rightarrow a\equiv b\pmod{n}\)
4.1.2同余的性质
若 \(a\equiv b\pmod{n}\),则 \(a\) 与 \(b\) 对 \(n\) 作带余除法所得的余数相同
自反性: \(a\equiv b\pmod{n}\Rightarrow b\equiv a\pmod{n}\)
传递性: \(a\equiv b\pmod{n},b\equiv c\pmod{n}\Rightarrow a\equiv c\pmod{n}\)
可加减性: \(a_1\equiv a_2\pmod{n},b_1\equiv b_2\pmod{n}\Rightarrow a_1\pm b_1\equiv a_2\pm b_2\pmod{n}\)
可乘性: \(a_1\equiv a_2\pmod{n},b_1\equiv b_2\pmod{n}\Rightarrow a_1\times b_1\equiv a_2\times b_2\pmod{n}\)
可除性: \(ka\equiv kb\pmod{kn}\Rightarrow a\equiv b\pmod{n}\)
互质可消性: \(ka\equiv kb\pmod{n},(k,n)=1\Rightarrow a\equiv b\pmod{n}\)
4.1.3定理: 特数的余数特征
若\(m\mid 10^k\),\(n=a.10^k+b\)(其中 \(b\) 为 \(n\) 的末 \(k\) 位数)，则 \(n\equiv b\pmod{m}\)
若 \(m\mid 10^k-1,n=a_s.10^{sk}+a_{s-1}.10^{(s-1)k}+...+a_1.10^k+a_0\)，其中 \(a_s,a_{s-1},...,a_0\) 均小于 \(10^k\)，则 \(n\equiv a_s+a_{s-1}+...+a_0\pmod{m}\)
若 \(m\mid 10^k+1,n=a_s.10^{sk}+a_{s-1}.10^{(s-1)k}+...+a_1.10^k+a_0\)，其中 \(a_s,a_{s-1},...,a_0\) 均小于 \(10^k\)，则 \(n\equiv a_0-a_1+a_2-a_3+...+(-1)^s.a_s\pmod{m}\)
4.1.4定理
如果 \(n\) 是奇质数，则 \(1^2,2^2,...,n^2\) 被 \(n\) 除所得的余数恰有 \(\tfrac{n+1}{2}\) 个
4.2几个经典的余数定理
4.2.1定义
剩余类：设模为 \(n\)，则根据余数可将所有的整数分为 \(n\) 类，把所有与整数 \(a\) 模 \(n\) 同余的整数构成的集合叫做模 \(n\) 的一个剩余类，记作 \([a]\)，并把 \(a\) 叫作剩余类 \([a]\) 的一个代表元
完全剩余系：从模 \(n\) 的每个剩余类中各取一个数，得到一个由 \(n\) 个数组成的集合，叫做模 \(n\) 的一个完全剩余系
欧拉 \(\varphi\) 函数：定义 \(\varphi(n)\) 为 \(0-n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数
\(m,n\) 互质 \(\Rightarrow \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
\(\varphi(p^k)=p^k-\tfrac{p^k}{p}=p^k(1-\tfrac{1}{p})\)
既约剩余系（缩系）：\(n\) 的完系中与 \(n\) 互质的数所构成的子集
同余逆：已知 \((a,n)=1\)，则存在整数 \(b\) 使得 \(ab\equiv 1\pmod{n}\)，且这样的 \(b\) 在模 \(n\) 意义下是唯一的，则 \(b\) 称为 \(a \mod n\) 的同余逆，常记作 \(a^{-1}\pmod{n}\)
4.2.2定理
若 \(\{a_1,a_2,...,a_n\}\) 为模 \(n\) 的完系，则 \(\{a_1+k,a_2+k,...,a_n+k\}\) 也为模 \(n\) 的完系
若 \(\{a_1,a_2,...,a_n\}\) 为模 \(n\) 的完系，且 \((m,n)=1\) ,则 \(\{ma_1,ma_2,...,ma_n\}\) 也为模 \(n\) 的完系
若 \(\{a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}\}\) 为模 \(n\) 的缩系，且 \((m,n)=1\) ,则 \(\{ma_1,ma_2,...,ma_{\varphi(n)}\}\) 也为模 \(n\) 的缩系
若 \(\{a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)}\}\) 为模 \(n\) 的缩系，且则 \(\{a_1^{-1},a_2^{-1},...,a_{\varphi(n)}^{-1}\}\) 也为模 \(n\) 的缩系
4.2.3中国剩余定理（孙子定理）
已知 \(n_1,n_2,...,n_k\) 两两互质，同余方程组 \(\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{n_1}\\x\equiv a_2\pmod{n_2}\\...\\x\equiv a_k\pmod{n_k}\end{cases}\) 在模 \(n=n_1n_2...n_k\) 的意义下有唯一解
构造：
设 \(M=m_1\times m_2\times ...\times m_n=\prod\limits_{i=1}^nm_i\) 是整数 \(m_1,m_2,...m_n\) 的乘积，并设 \(M_i=M/m_i,\forall i \in \{1,2,...,n\}\) 是除了 \(m_i\) 以外的 \(n-1\) 个数的乘积
设 \(t_i=M_i^{-1}\) 为 \(M_i\) 模 \(m_i\) 的数论倒数（\(t_i\) 为 \(M_i\) 模 \(m_i\) 意义下的逆元），\(M_it_i\equiv 1\pmod {m_i},\forall i \in \{1,2,...,n\}\)
方程组 \((S)\) 的通解形式为 \(x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+...a_nt_nM_n+kM=kM+\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i,k\in Z\)
在模 \(M\) 的意义下，方程组 \((S)\) 只有一个解：\(x=(\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i)mod M\)
证明：
从假设可知，对于任何 \(i\in\{1,2,...,n\}\)，由于 \(\forall j\in\{1,2,...,n\},j\ne i,gcd(m_i,m_j)=1\),所以 \(gcd(m_i,M_i)=1\),这说明存在整数 \(t_i\) 是的 \(t_iM_i\equiv 1\pmod{m_i}\)。这样的 \(t_i\) 叫做 \(M_i\) 模 \(m_i\) 的数论倒数。考察乘积 \(a_it_iM_i\) 可知：
\(a_it_iM_i\equiv a_i\times 1\equiv a_i\pmod{m_i}\)
\(\forall j\in\{1,2,..,n\},j\ne i,a_i,t_iM_i\equiv 0\pmod{m_j}\)
所以 \(x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+...+a_nt_nM_n\) 满足：
\(\forall i\in\{1,2,...,n\},x=a_it_iM_i+\sum\limits_{j\ne i}a_jt_jM_j\equiv a_i+\sum\limits_{j\ne i}0\equiv a_i\pmod{m_i}\)
这说明 \(x\) 就是方程组 \((S)\) 的一个解
另外，假设 \(x_1,x_2\) 都是方程组 \((S)\) 的解，那么：
\(\forall i\in\{1,2,...,n\},x_1-x_2\equiv 0\pmod{m_i}\)
而 \(m_1,m_2,...,m_n\) 两两互质，这说明 \(M=\prod\limits_{i=1}^nm_i\) 整除 \(x_1-x_2\)。所以方程组 \((S)\) 的任何两个解之间必然相差 \(M\) 的整数倍。
而另一方面，\(x=a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+...+a_nt_nM_n\) 是一个解，
同时所有形式为：\(a_1t_1M_1+a_2t_2M_2+...+a_nt_nM_n+kM=kM+\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i,k\in Z\) 的整数也是方程组 \((S)\) 的解。
所以方程组所有的解的集合就是：\(\{kM+\sum\limits_{i=1}^na_it_iM_i;k\in Z\}\)
4.2.4威尔逊定理（Wilson）
如果 \(p\) 是一个质数，则 \((p-1)!\equiv p-1\pmod{p}\)
4.2.5费马小定理
\(p\) 为质数，\(a\) 不是 \(p\) 的倍数，则 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\)
4.2.6欧拉定理
\(a\) 和 \(n\) 为正整数，且 \((a,n)=1\),则 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}\)
证：
取模 \(n\) 的缩系 \(a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)},\) 则 $ aa_1,aa_2,...,aa_{\varphi(n)}$ 也是模 \(n \) 的缩系，
故有 \(\prod_{i=1}^{\varphi(n)}a_i\equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)}aa_i\equiv a^{\varphi(n)}\prod_{i=1}^{\varphi(n)}a_i\pmod{n}\Rightarrow a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}\),特别的，当 \(n \in \{\) 质数 \(\}\) 时，该结论加强为费马小定理
浙公网安备 33010602011771号