2019-08-20 纪中NOIP模拟B组

T1 [JZOJ3490] 旅游(travel)

题目描述

　　$ztxz16$ 如愿成为码农之后，整天的生活除了写程序还是写程序，十分苦逼。终于有一天，他意识到自己的生活太过平淡，于是决定外出旅游丰富阅历。

　　$ztxz16$ 生活的城市有 $N \times M$ 个景点，可以描述成一个 $N \times M$ 的矩形，每个景点有一个坐标 $(x, y) \; (1 \leq x \leq N, 1 \leq y \leq M)$ 以及美观度 $A[x][y]$ 和观赏所需的时间 $B[x][y]$，从一个景点 $(x_1, y_1)$ 走到另一个景点 $(x_2, y_2)$ 需要时间为它们之间的曼哈顿距离：$|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$。

　　为了防止审美疲劳，$ztxz16$ 希望观赏的景点的的美观度是严格上升的，由于不想太早回家码代码，$ztxz16$ 希望旅游的总时间尽可能长。

数据范围

　　对于 $30\%$ 的数据，$1 \leq N,M \leq 50$

　　对于 $60\%$ 的数据，$1 \leq N,M \leq 300$

　　对于 $100\%$ 的数据，$1 \leq N,M \leq 1000$，$0 \leq A \leq 10^6$，$0 \leq B \leq 10^9$

分析

　　数据较水，$O(n^2m^2)$ 可以过，暂没写出 $O(nm)$ 做法

T2 [JZOJ3491] 做梦(dream)

题目描述

　　$ztxz16$ 旅游归来后十分疲倦，很快就进入了梦中。

　　在梦中 $ztxz16$ 结婚生子了，他不得不照顾小宝宝。但这实在太无聊了，于是 $ztxz16$ 会在散步。梦中 $ztxz16$ 住在一个类似数轴的街上，数轴上的每个整点是一个街区，每个单位时间内 $ztxz16$ 可以选择向左走一个街区或者向右走一个街区，但如果他离开家超过 $m$ 个单位时间小宝宝会有危险，因此 $ztxz16$ 必须在距离上次在家中不超过 $m$ 个单位时间内回到家中。$n$ 个单位时间后 $ztxz16$ 会醒来，他希望此时正好在家中。

　　$ztxz16$ 想知道散步过程可能有多少种不同的散步过程。两个散步过程被认为不同，当且仅当存在至少一个单位时刻 $ztxz16$ 6选择的走向不同。

数据范围

　　对于 $30\%$ 的数据，$2 \leq N \leq 100$，$2 \leq M \leq 100$

　　对于 $100\%$ 的数据，$2 \leq N \leq 10^9$，$2 \leq M \leq 100$

　　$N$ 和 $M$ 均为偶数

分析

　　看到数据，很容易想到矩阵乘法

　　设 $f[i][j]$ 表示不经过起点走 $i$ 步到达 $j$ 位置的不同路径数

　　于是可以推出初始矩阵为 $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & f[\frac{m}{2}]\\ 1 & 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & f[\frac{m}{2}-1]\\ 0 & 1 & \cdot\cdot\cdot & 0 & f[\frac{m}{2}-2]\\ \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot & \cdot\cdot\cdot\\ 0 & 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & f[2]\\ 0 & 0 & \cdot\cdot\cdot & 1 & f[1] \end{bmatrix}$$

　　然后只需要求出矩阵 $\frac{n}{2}$ 次幂的最后一项就可以了

　　（关于这样转移的原因，手推一下前几个矩阵找出最后一项的形成规律就好了，而且也会明白为什么 $f$ 数组记录的是不经过起点的路径数）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib> 
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f

int n, m, ans;
int f[105][105];
int p = 1e9 + 7;

struct Mat {
    int t[55][55];
    Mat() {memset(t, 0, sizeof t);}
} x;

Mat Mul(Mat a, Mat b) {
    Mat c;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++)
    for (int k = 1; k <= m; k++)
        c.t[i][j] = (c.t[i][j] + (ll)a.t[i][k] * b.t[k][j] % p) % p;
    return c;
}

Mat Pow(Mat a, int b) {
    Mat c;
    for (int i = 1; i <= m; i++) c.t[i][i] = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) c = Mul(c, a);
        a = Mul(a, a); b >>= 1;
    }
    return c;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    n >>= 1; m >>= 1;
    f[1][m - 1] = f[1][m + 1] = 1;
    for (int i = 2; i <= (m << 1); i++)
        for (int j = 0; j <= (m << 1); j++) {
            if (j - 1 != m) f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - 1]) % p;
            if (j + 1 != m) f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j + 1]) % p;
        }
    for (int i = 2; i <= m; i++) x.t[i][i - 1] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) x.t[m + 1 - i][m] = f[i << 1][m];
    x = Pow(x, n);
    printf("%d", x.t[m][m]);
    
    return 0;
}

T3 [JZOJ3492] 数数(count)

题目描述

　　$ztxz16$ 从小立志成为码农，因此一直对数的二进制表示很感兴趣。今天的数学课上，$ztxz16$ 学习了等差数列的相关知识。我们知道，一个等差数列可以用三个数 $A,B,N$ 表示成如下形式：

　　$B + A, B + 2 \times A, B + 3 \times A, ..., B + N \times A$

　　$ztxz16$ 想知道对于一个给定的等差数列，把其中每一项用二进制表示后，一共有多少位是 $1$，但他的智商太低无法算出此题，因此寻求你的帮助。

数据范围

　　对于 $30\%$ 的数据，$1 \leq T \leq 20$，$1 \leq A \leq 10^4$，$1 \leq B \leq 10^{16}$，$1 \leq N \leq 10^3$

　　对于 $60\%$ 的数据，$1 \leq T \leq 20$，$1 \leq A \leq 10^4$，$1 \leq B \leq 10^{16}$，$1 \leq N \leq 10^9$

　　对于 $100\%$ 的数据，$1 \leq T \leq 20$，$1 \leq A \leq 10^4$，$1 \leq B \leq 10^{16}$，$1 \leq N \leq 10^{12}$

分析

　　对于一个二进制数 $x$，它第 $k$ 位上的数为 $\lfloor \frac{x}{2^{k-1}} \rfloor - \lfloor \frac{x}{2^k} \rfloor \times 2$

　　所以在等差数列的 $n$ 个数中，第 $k$ 位的总贡献为 $\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{b+ai}{2^{k-1}} \rfloor - \lfloor \frac{b+ai}{2^k} \rfloor \times 2$

　　最后答案就是每一位上的贡献之和

　　对于形如 $f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor$ 的式子，我们会使用类欧几里得算法来计算

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f

ll T, A, B, N, f[65];

ll calc(ll a, ll b, ll c, ll n) {
    if (!a) return b / c * (n + 1);
    if (a < c && b < c) {
        ll m = (a * n + b) / c;
        if (!m) return 0;
        return n * m - calc(c, c - b - 1, a, m - 1);
    }
    if (n & 1)
    return calc(a % c, b % c, c, n) + (n + 1) / 2 * n * (a / c) + (n + 1) * (b / c);
    return calc(a % c, b % c, c, n) + n / 2 * (n + 1) * (a / c) + (n + 1) * (b / c);
}

int main() {
    scanf("%lld", &T);
    while (T--) {
        ll ans = 0;
        scanf("%lld%lld%lld", &A, &B, &N);
        for (ll i = 1, j = 0; (i >> 1) <= B + A * N; i <<= 1, j++)
            f[j] = calc(A, B + A, i, N - 1);
        for (ll i = 1, j = 0; i <= B + A * N; i <<= 1, j++)
            ans += f[j] - (f[j + 1] << 1);
        printf("%lld\n", ans);
    }
    
    return 0;
}