Miller-Rabin

Miller-Rabin

一种可以在 \(O(klogn)\) 的时间复杂度内大致地判断一个数是否是质数的算法。

就是根据质数的性质的逆否命题来证明不是质数，主要利用了两个性质。

费马探测

这个探测就是根据费马小定理的探测，利用 $$\forall_{p\in P} a^{p-1} \equiv 1$$ 的性质，我们在判断一个数 \(x\) 是否是质数时，只要随便找一个数作为 \(a\) ，快速幂求一下 \(a^{x-1}\) 在模 \(x\) 的意义下的值是否等于 \(1\) 即可。

但费马探测并不能过判断出卡迈克尔数。

二次探测

对于一个质数 \(p\) ，我们同样有性质 \(a^2 \equiv 1 (\%p)\) 这个方程的解只有两个， \(x_1=1,x_2=-1\) 。拉格朗日定理保证了不存在非平凡平方根，所以我们可以将 \(a^{x-1}\) 拆成 \(a^{2^k \times t}\) 的形式，先用快速幂求出 \(a^t\) ，再进行 \(k\) 次二次探测，在最后再进行一次费马探测即可。