2-sat

对于每个限制条件只包含两个变量的，称为2-sat

建边方式

首先拆点，把每个命题分为 \(true\) 与 \(false\)

在图上用点之间的可达性表示命题之间的蕴含关系

对于 \(x_i=1\) 的限制，等价于 \(x_i \neq 0\)，让 \(x_i=0\) 的情况推出 \(x_i=1\) ，让\(\neg i\)向 \(i\)连一条边

对于 \(x \lor y=1\)的限制，那么 \(x=0 \Longrightarrow y=1\) 让 \(\neg x\)向 \(y\) 连边

对于 \(x \land y=0\) 的限制，那么 \(x=1 \Longrightarrow y=0\) 让 \(x\)向 \(\neg y\)连边

如果 \(x\)与 \(\neg x\) 在同一个强连通分量里，就说明无解，否则取拓扑序较大者的命题为真(即所在\(scc\)编号较小者)

这样只满足了单个命题的限制，那么有没有可能取两个拓扑序较大的命题之间有矛盾，即 \(x\)是否会得到 \(\neg y\) 呢

答案是不会的，\(d_{\neg x} < d_x,d_{\neg y}<d_y\)，假设有 \(d_x<d_{\neg y}\)，那么由对称性可得\(d_y<d_{\neg x}\)，得到 \(d_x<d_{\neg y}<d_y<d_{\neg x}<d_x\) 矛盾，证毕

建图优化方式

有线段树等数据结构优化建图，也可以用\(CDQ\)分治优化建图，如果是向一个前缀或后缀连边的话，可以前缀优化建图

korasaju

（补）