WC 2008 观光计划（斯坦纳树）

题意

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2595

思路

是一道比较裸的斯坦纳树呢～

题意等价于选出包含一些点的最小生成树，这就是斯坦纳树的功能。

举个例子，给定 \(n\) 个点，其中 \(k\) 个点被称作关键点，\(m\) 条带权边，求原图的一个权值最小的子图，这张子图图为包含这 \(k\) 个点的树。

我们定义 \(dp[i][j]\) 为关键点集合 \(i\) 与任意节点 \(j\) 连通的最小权的树。考虑转移这个 \(dp\) 数组，比较显然的是以下的子集划分：

\[dp[i][j]=\min(dp[k][j]+dp[i\setminus k][j]) \]

其中 \(k\) 是 \(i\) 的子集。

当然这样转移是不够的，在关键点集合 \(i\) 不变的情况下，\(j\) 有可能会发生改变，即发生如下转移：

\[\text{chk_min}(dp[i][k],dp[i][j]+w(j,k)) \]

其中 \(w(j,k)\) 为一条 \(j\) 指向 \(k\) 的边的边权。不难发现，这个过程和最短路的松弛操作是一样的，那么就可以利用最短路进行转移，没有负边就跑 \(\text{dijkstra}\)，否则跑 \(\text{spfa}\) 。

这道题求的东西略微不同，是点有点权，不过无所谓，转移稍稍改动即可。然后还要输出方案，那么在 \(dp\) 转移的时候还需要记录从哪里转移过来。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
template<const int N,const int M,typename T>struct LinkedList
{
	int head[N],nxt[M],tot;T to[M];
	LinkedList(){clear();}
	T &operator [](const int x){return to[x];}
	void clear(){memset(head,-1,sizeof(head)),tot=0;}
	void add(int u,T v){to[tot]=v,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot++;}
	#define EOR(i,G,u) for(int i=G.head[u];~i;i=G.nxt[i])
};
struct node
{
	int at,path;
	bool operator <(const node &_)const{return path>_.path;}
};

LinkedList<103,103*4,int>G;
std::priority_queue<node>Q;
int dp[(1<<10)+3][103];
bool lasknd[(1<<10)+3][103];
int las[(1<<10)+3][103];
bool mark[103];
int mp[103],ori[13];
int pw[103];
int n,m,K;

inline int hs(int x,int y){return x*m+y;}

void Steiner()
{
	FOR(i,0,(1<<K)-1)FOR(j,0,n-1)dp[i][j]=1e9;
	FOR(i,0,K-1)dp[1<<i][ori[i]]=0;
	FOR(i,1,(1<<K)-1)
	{
		FOR(j,0,n-1)
			for(int k=(i-1)&i;k;k=(k-1)&i)
				if(chk_min(dp[i][j],dp[k][j]+dp[i^k][j]-pw[j]))
				{
					lasknd[i][j]=0;
					las[i][j]=k;
				}
		while(!Q.empty())Q.pop();
		FOR(j,0,n-1)Q.push((node){j,dp[i][j]});
		while(!Q.empty())
		{
			node now=Q.top();Q.pop();
			int u=now.at;
			if(now.path>dp[i][u])continue;
			EOR(k,G,u)
			{
				int v=G[k],w=pw[v];
				if(chk_min(dp[i][v],dp[i][u]+w))
				{
					lasknd[i][v]=1;
					las[i][v]=u;
					Q.push((node){v,dp[i][v]});
				}
			}
		}
	}
}

void backtrack(int i,int j)
{
	mark[j]=1;
	if(mp[j]!=-1&&i==(1<<mp[j]))return;
	if(!lasknd[i][j])
		backtrack(las[i][j],j),backtrack(i^las[i][j],j);
	else backtrack(i,las[i][j]);
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	FOR(i,0,n-1)FOR(j,0,m-1)
	{
		scanf("%d",&pw[hs(i,j)]);
		if(!pw[hs(i,j)])mp[hs(i,j)]=K,ori[K]=hs(i,j),K++;
		else mp[hs(i,j)]=-1;
	}
	FOR(i,0,n-1)FOR(j,0,m-2)
	{
		G.add(hs(i,j),hs(i,j+1));
		G.add(hs(i,j+1),hs(i,j));
	}
	FOR(i,0,n-2)FOR(j,0,m-1)
	{
		G.add(hs(i,j),hs(i+1,j));
		G.add(hs(i+1,j),hs(i,j));
	}
	n*=m;
	Steiner();
	int ans=1e9,id;
	FOR(i,0,n-1)if(chk_min(ans,dp[(1<<K)-1][i]))id=i;
	backtrack((1<<K)-1,id);
	printf("%d\n",ans);
	FOR(i,0,n-1)
	{
		if(!pw[i])putchar('x');
		else putchar(mark[i]?'o':'_');
		if(i%m==m-1)putchar('\n');
	}
	return 0;
}