BZOJ 1269 文本编辑器editor（伸展树）
题意
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1269
思路
伸展树（\(\text{splay}\)）功能比较齐全的模板，能较好的体现 \(\text{splay}\) 的功能，简单介绍一下 \(\text{splay}\)。
基本的概念和函数
\(\text{splay}\) 是平衡树的一种，能在均摊 \(\log n\) 的时间复杂度内完成很多序列操作（序列就是树的中序遍历），核心是以下两个函数。
rotate
首先是旋转函数，\(\text{rotate}(x)\) 表示旋转 \(x\) 节点到它父亲的位置，它的父亲变成它的孩子，在旋转函数的过程中，原树的中序遍历保持不变，代码如下：
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
if(z)ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
push_up(y),push_up(x); //有时需要
}
网上有大量旋转函数过程图，这里不再解释。另外函数中的两个判断语句其实可以不用，零节点有儿子或父亲并不会造成错误，只是后面的 \(\text{LCT}\) 需要判断。
splay
然后是伸展函数，\(\text{splay}(x,w)\) 表示将 \(x\) 通过 \(\text{rotate}\) 函数上旋至成为 \(w\) 的儿子，特别的，当 \(w=0\) 时，表示将 \(x\) 上旋至根节点。
有一点特别注意，当节点 \(x\)，\(x\) 的父亲 \(y\) ，\(y\) 的父亲 \(z\) 三点共线，需要先转 \(y\) 再转 \(x\) ，否则转两次 \(x\) 。可以通过模拟一条链的旋转发现这种方法的优越性。
代码如下，可以写的很短：
void splay(int x,int w)
{
while(fa[x]!=w)
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(z!=w)(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
rotate(x);
}
if(!w)rt=x;
}
注意在函数调用之前保证 \(x\) 以及 \(x\) 的祖先全部 \(\text{down}\) 完了。
基本的操作
构造
可以扔一个完美的 \(\text{splay}\) 上去，据说是对后面的操作在常数上有利。
void build(int &x,int f, int *arr,int l,int r)
{
if(l>r)return;
int mid=(l+r)>>1;
x=++tot;
ch[x][0]=ch[x][1]=0;
fa[x]=f;
pw[x]=arr[mid];
sz[x]=1,rev[x]=0; //在构造时清空会比较方便，如果有点权、标记的话要清空
build(ch[x][0],x,arr,l,mid-1);
build(ch[x][1],x,arr,mid+1,r);
push_up(x);
}
插入
对于维护中序权值单调的平衡树，通过这种方式实现插入函数。
void insert(int val)
{
int x=rt,y=0;
while(x&&val!=pw[x])y=x,x=ch[x][val>pw[x]];
if(!x)
{
x=++tot;
ch[x][0]=ch[x][1]=0;
fa[x]=y,ch[y][val>pw[y]]=x;
sz[x]=cnt[x]=1;
pw[x]=val;
}
else sz[x]++,cnt[x]++;
splay(x,0);
}
前驱后继
同样的，对于一个中序单调的 \(\text{splay}\) ，可以通过查找的方法获得前驱后继，这也就是找第一个大于/小于（等于）一个数 \(v\) 的方法，即在 \(\text{splay}\) 上二分。
int get_lss(int val)
{
int x=rt,y=0,tmp=-1,res=-1e9;
while(x)
{
if(pw[x]<val&&chk_max(res,pw[x]))tmp=x;
y=x,x=ch[x][val>pw[x]];
}
splay(y,0);
return tmp;
}
int get_grt(int val)
{
int x=rt,y=0,tmp=-1,res=1e9;
while(x)
{
if(pw[x]>val&&chk_min(res,pw[x]))tmp=x;
y=x,x=ch[x][val>=pw[x]];
}
splay(y,0);
return tmp;
}
当然对于中序不一定单调，维护一个普通序列的 \(\text{splay}\) ，可以从结构上分析，利用旋转操作中序不变的性质。
int get_pre(int x)
{
splay(x,0);
if(!ch[x][0])return -1;
x=ch[x][0];
while(ch[x][1])x=ch[x][1];
splay(x,0);
return x;
}
int get_nxt(int x)
{
splay(x,0);
if(!ch[x][1])return -1;
x=ch[x][1];
while(ch[x][0])x=ch[x][0];
splay(x,0);
return x;
}
第K大值
与动点线段树写法类似，直接二分即可。
int get_Kth(int K)
{
//K++; 因为有些题目需要加上极小值和极大值，为了下面调用的方便起见加了这一句话
int x=rt;
while(push_down(x),K!=sz[ch[x][0]]+1)
{
if(K<=sz[ch[x][0]])x=ch[x][0];
else K-=sz[ch[x][0]]+1,x=ch[x][1];
}
splay(x,0);
return x;
}
在这里说一下 \(\text{splay}\) 调用的时机，复杂度的证明我目前看不懂，但我知道由于 \(\text{splay}\) 是均摊 \(\log n\) ，所以只要是经过若干次循环迭代到的节点，都要上旋以防止复杂度堆积。
求一个点是第几大
void down_all(int x)
{
if(!x)return;
down_all(fa[x]);
push_down(x);
}
int get_rank(int x)
{
// down_all(x); 注意在自底向上操作一个点前，要保证标记传完
splay(x,0);
return sz[ch[x][0]]+1;
// return sz[ch[x][0]]; 同理，在有极小值时采用这种写法
}
区间操作
我们需要的就是“取出”一个区间，一般采取这样的方法：
l=get_Kth(l-1),r=get_Kth(r+1);
splay(l,0),splay(r,l);
这样之后，\(\text{ch}[r][0]\) 就是我们需要的区间了，区间打标记，求和，挪位什么的就很好实现了。
\(\text{splay}\) 也被叫做分裂树，它能实现区间的，挪位，这是它很显著的优势。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int N=3e6+5;
struct Splay
{
int ch[N][2],fa[N];char pw[N];
int sz[N];bool rev[N];
int rt,tot;
int operator [](const int x){return pw[get_Kth(x)];}
void init()
{
rt=tot=0;
ch[0][0]=ch[0][1]=fa[0]=sz[0]=rev[0]=0;
char str[2]={' ',' '};
build(rt,0,str,0,1);
}
void reved(int x)
{
rev[x]^=1;
std::swap(ch[x][0],ch[x][1]);
}
void push_up(int x){sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+1;}
void push_down(int x)
{
if(!rev[x])return;
if(ch[x][0])reved(ch[x][0]);
if(ch[x][1])reved(ch[x][1]);
rev[x]=0;
}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
if(z)ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
push_up(y),push_up(x);
}
void splay(int x,int w)
{
while(fa[x]!=w)
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(z!=w)(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
rotate(x);
}
if(!w)rt=x;
}
void build(int &x,int f,char *arr,int l,int r)
{
if(l>r)return;
int mid=(l+r)>>1;
x=++tot;
ch[x][0]=ch[x][1]=0;
fa[x]=f;
pw[x]=arr[mid];
sz[x]=1,rev[x]=0;
build(ch[x][0],x,arr,l,mid-1);
build(ch[x][1],x,arr,mid+1,r);
push_up(x);
}
int get_Kth(int K)
{
K++;
int x=rt;
while(push_down(x),K!=sz[ch[x][0]]+1)
{
if(K<=sz[ch[x][0]])x=ch[x][0];
else K-=sz[ch[x][0]]+1,x=ch[x][1];
}
splay(x,0);
return x;
}
void insert(int pos,char *str,int n)
{
int l=get_Kth(pos),r=get_Kth(pos+1);
splay(l,0),splay(r,l);
build(ch[r][0],r,str,0,n-1);
splay(r,0);
}
void flip(int l,int r)
{
l=get_Kth(l-1),r=get_Kth(r+1);
splay(l,0),splay(r,l);
reved(ch[r][0]);
}
void erase(int l,int r)
{
l=get_Kth(l-1),r=get_Kth(r+1);
splay(l,0),splay(r,l);
ch[r][0]=0;
splay(r,0);
}
}SP;
int n,mouse;
char str[N];
int main()
{
SP.init();
mouse=0;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
int x;
scanf("%s",str);
if(str[0]=='M')
{
scanf("%d",&x);
mouse=x;
}
else if(str[0]=='I')
{
scanf("%d",&x);getchar();
FOR(i,0,x-1)str[i]=getchar();
str[x]='\0';
SP.insert(mouse,str,x);
}
else if(str[0]=='D')
{
scanf("%d",&x);
SP.erase(mouse+1,mouse+x);
}
else if(str[0]=='R')
{
scanf("%d",&x);
SP.flip(mouse+1,mouse+x);
}
else if(str[0]=='G')
printf("%c\n",SP[mouse+1]);
else if(str[0]=='P')mouse--;
else if(str[0]=='N')mouse++;
}
return 0;
}
