【Bzoj 1835 基站选址】

基站选址的区间里隐藏着DP优化的机密……

分析：

      不论是做过乘积最大还是石子合并，或者是其他的入门级别的区间DP题目的人呐，大米并认为读题后就能够轻松得出一个简洁明了的Dp转移方程。

      由于这道题每个村庄i仅有两种状态：①自己有一个基站②自己不是基站，但是自己的范围S[i]里有基站。基于这样的关系，可以得出一个容易理解的Dp转移方程：

      [设f[k][i]表示1~i的村庄中选取k个村庄安放基站，并且第k个村庄就安放在村庄i，使得所有村庄合法的最小花费]

        f[k][i]=min(f[k-1][j]+Cost(j,i))+c[i] (j<i)

     这个状态转移表达的含义是，村庄i,j安放了基站。据此Cost(i,j)表示的则是在村庄i,j之间没能接收到基站信号的基站的额外费用w[i]之和(即表示由于不能用基站处理掉而付出的额外代价)。

      到此为止这个解法已经成功了一半。不成功的地方是时间复杂度在本提数据范围下是不能承受的——O(n2k)。

      因此我们考虑Dp的优化。让我们幻想一下，如果能够存下f[k-1][]+Cost们的最优值，那么就不需要对于每个i转移花n次来枚举来源了！随后可以发现，难点在于Cost(i,j)的快速计算。

      仔细分析Cost(i,j)的定义，我们需要找到一种方法，能够快速求出在两个基站i,j之间有哪些村庄无法被覆盖(调皮的是,这里覆盖范围是按各个村庄来定的)。由于f[k][i]表示合法方案，所以在状态转移的时候，我们要注意对于[1,j]之间的村庄已经处理好，我们只要考虑(j,i)中村庄是否覆盖的问题。那么如果一个村庄无法被j,i两个村庄覆盖，它的信号接收范围长啥样呢？

image

 

     就是这样：左手摸不着j,右手碰不到i。然后我们尝试利用范围这一特性，我们发现，如果(j,i)这一对组合,x覆盖不到，那么对于所有(j,I)（I大于i）都覆盖不到x。所以我们想到，一种(j,i)可以为后来的(j,I)提供一些小小信息。同理地，如果(j,i)这一对组合,x覆盖不到,那么对于所有(J,i)（J小于j）都覆盖不到x。总结来说啦，就是一种单调性：

     结论：如果状态转移中(j,i)情况下(表示在i,j放置基站),如果之间某个村庄x无法被覆盖，那么对于所有状态转移中(J,I)[J<j&&I>i]都无法覆盖x(毕竟越来越远了嘛)。

     为了方便，我们动用三个数组参与Dp的优化行动：

     ·int left_cur[i]：表示在村庄i的范围内[-s[i],+s[i]],最靠左边的那个村庄的位置(也就是下标最小的点，放置基站依旧可以覆盖i);

     ·int left_cur[i]：表示在村庄i的范围内[-s[i],+s[i]],最靠右边的那个村庄的位置(也就是下标最大的点，放置基站依旧可以覆盖i);

     ·vector<int> cur_right[i]：用于存储所有right_cur的值都为i村庄的点的下标(和前一个玩意儿互逆似的)。

     当前状态转移f[k][i]=min(f[k-1][j]+Cost(i,j))+c[i]完成后，我们将以i为 right_cur的值的点全部枚举一遍(使用数组cur_right)，对于每个枚举的点再依靠left_cur[i]找到最左边能够覆盖该点的村庄下标p。这样做是干啥呢？因为i即将循环至i+1那么下面的状态对于所有(P,I)[P<p,I>i]都不可能覆盖这些枚举的点了，那么这些点的w(额外费用)必然会贡献Cost所以我们先给这些点(即1~p-1的点)加上这个Cost，然后维护这些f[k-1][]+Cost的最小值用于下一次转移就可以了——用啥维护可以支持区间加和区间求最值？线段树！

      代码长出来了：

 1 #include<vector>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<algorithm>
 4 #define ll long long
 5 #define inf 1ll*100000000*100000000
 6 #define In(a,p) go(i,p,n)scanf("%d",a+i)
 7 #define go(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 8 #define ro(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
 9 using namespace std;
10 const int N=20003;int n,K;
11 ll d[N],c[N],s[N],w[N],f[N],left_cur[N],ans=inf,W;
12 vector<int>cur_right[N];
13 struct Binary_Search
14 {
15     int l,r,M,res;
16     int Left_Search(int i){l=1,r=res=i;
17         while(l<=r)d[i]-d[M=l+r>>1]<=s[i]?res=M,r=M-1:l=M+1;return res;}
18     int Right_Search(int i){l=res=i,r=n;
19         while(l<=r)d[M=l+r>>1]-d[i]<=s[i]?res=M,l=M+1:r=M-1;return res;}
20 }dichotomy;
21 struct Segment_Tree
22 {
23     int sz,lch[N*4],rch[N*4];ll lazy[N*4],Min[N*4];
24     void Init(){sz=0;int _;Build(_,1,n);}
25     void Push_Up(int u){Min[u]=min(Min[lch[u]],Min[rch[u]]);}
26     void Push_Down(int u)
27     {
28         lazy[lch[u]]+=lazy[u];lazy[rch[u]]+=lazy[u];
29         Min[lch[u]]+=lazy[u];Min[rch[u]]+=lazy[u];lazy[u]=0;
30     }
31     void Build(int &u,int l,int r)
32     {
33         lazy[u=++sz]=0;if(l==r){Min[u]=f[l];return;}
34         int M=l+r>>1;Build(lch[u],l,M);Build(rch[u],M+1,r);Push_Up(u);
35     }
36     void Update(int u,int l,int r,int L,int R,ll d)
37     {
38         if(L>R)return;Push_Down(u);
39         if(l==L&&r==R){Min[u]+=d;lazy[u]+=d;return;}
40         int M=l+r>>1;if(R<=M)Update(lch[u],l,M,L,R,d);
41         else if(L>M)Update(rch[u],M+1,r,L,R,d);
42         else Update(lch[u],l,M,L,M,d),Update(rch[u],M+1,r,M+1,R,d);Push_Up(u);
43     }
44     ll Query(int u,int l,int r,int L,int R)
45     {
46         if(L>R)return 0;Push_Down(u);
47         if(l==L&&r==R){return Min[u];}
48         int M=l+r>>1;if(R<=M)return Query(lch[u],l,M,L,R);
49         else if(L>M)return Query(rch[u],M+1,r,L,R);
50         else return min(Query(lch[u],l,M,L,M),Query(rch[u],M+1,r,M+1,R));Push_Up(u);
51     }
52 }maintain;
53 int main()
54 {
55     scanf("%d%d",&n,&K);In(d,2);In(c,1);In(s,1);In(w,1);
56     
57     go(i,1,n)
58     {
59         left_cur[i]=dichotomy.Left_Search(i);
60         int right=dichotomy.Right_Search(i);
61         cur_right[right].push_back(i);
62     }
63     n++;K++;w[n]=d[n]=inf;
64     
65     go(i,1,n){f[i]=c[i];go(j,1,i-1)if(d[j]+s[j]<d[i])f[i]+=w[j];}ans=f[n];
66     go(k,2,K)
67     {
68         maintain.Init();go(i,1,n)
69         {
70             f[i]=maintain.Query(1,1,n,1,i-1)+c[i];
71             if(cur_right[i].size())go(j,0,cur_right[i].size()-1)
72             {
73                 int Pos=cur_right[i][j];
74                 maintain.Update(1,1,n,1,left_cur[Pos]-1,w[Pos]);
75             }    
76         }
77         ans=min(ans,f[n]);
78     }
79     printf("%lld\n",ans);return 0;
80 }//Paul_Guderian

有人说大米饼喜欢压代码，这里有一份不压的————我也会写不压的！

  1 #include<vector>
  2 #include<stdio.h>
  3 #include<algorithm>
  4 #define ll long long
  5 #define inf 1ll*100000000*100000000
  6 #define In(a,p) go(i,p,n)scanf("%d",a+i)
  7 #define go(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
  8 #define ro(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
  9 using namespace std;
 10 const int N=20003;int n,K;
 11 ll d[N],c[N],s[N],w[N],f[N],left_cur[N],ans=inf,W;
 12 vector<int>cur_right[N];
 13 struct Binary_Search
 14 {
 15     int l,r,mid;
 16     int Left_Search(int i)
 17     {
 18         l=1,r=i;int res=i;
 19         while(l<=r)
 20         {
 21             mid=l+r>>1;
 22             if(d[i]-d[mid]<=s[i])res=mid,r=mid-1;
 23             else l=mid+1;
 24         }
 25         return res;
 26     }
 27     int Right_Search(int i)
 28     {
 29         l=i,r=n;int res=i;
 30         while(l<=r)
 31         {
 32             mid=l+r>>1;
 33             if(d[mid]-d[i]<=s[i])res=mid,l=mid+1;
 34             else r=mid-1;
 35         }
 36         return res;
 37     }
 38 }dichotomy;
 39 struct Segment_Tree
 40 {
 41     int sz,lch[N*4],rch[N*4];ll lazy[N*4],Min[N*4];
 42     void Init(){sz=0;int _;Build(_,1,n);}
 43     void Push_Up(int u)
 44     {
 45         Min[u]=min(Min[lch[u]],Min[rch[u]]);
 46     }
 47     void Push_Down(int u)
 48     {
 49         lazy[lch[u]]+=lazy[u];
 50         lazy[rch[u]]+=lazy[u];
 51         Min[lch[u]]+=lazy[u];
 52         Min[rch[u]]+=lazy[u];
 53         lazy[u]=0;
 54     }
 55     void Build(int &u,int l,int r)
 56     {
 57         lazy[u=++sz]=0;
 58         if(l==r)
 59         {
 60             Min[u]=f[l];
 61             return;
 62         }
 63         int M=l+r>>1;
 64         Build(lch[u],l,M);
 65         Build(rch[u],M+1,r);
 66         Push_Up(u);
 67     }
 68     void Update(int u,int l,int r,int L,int R,ll d)
 69     {
 70         if(L>R)return;
 71         Push_Down(u);
 72         if(l==L&&r==R)
 73         {
 74             Min[u]+=d;
 75             lazy[u]+=d;
 76             return;
 77         }
 78         int M=l+r>>1;
 79         if(R<=M)Update(lch[u],l,M,L,R,d);
 80         else if(L>M)Update(rch[u],M+1,r,L,R,d);
 81         else Update(lch[u],l,M,L,M,d),Update(rch[u],M+1,r,M+1,R,d);
 82         Push_Up(u);
 83     }
 84     ll Query(int u,int l,int r,int L,int R)
 85     {
 86         if(L>R)return 0;
 87         Push_Down(u);
 88         if(l==L&&r==R)
 89         {
 90             return Min[u];
 91         }
 92         int M=l+r>>1;
 93         if(R<=M)return Query(lch[u],l,M,L,R);
 94         else if(L>M)return Query(rch[u],M+1,r,L,R);
 95         else return min(Query(lch[u],l,M,L,M),Query(rch[u],M+1,r,M+1,R));
 96         Push_Up(u);
 97     }
 98 }maintain;
 99 void Input_Data()
100 {
101     scanf("%d%d",&n,&K);
102     In(d,2);In(c,1);In(s,1);In(w,1);
103 }
104 void Add_Ans_Point()
105 {
106     n++;K++;
107     w[n]=d[n]=inf;
108 }
109 void Pre_Handle_of_Dynamic_Programming()
110 {
111     go(i,1,n)
112     {
113         left_cur[i]=dichotomy.Left_Search(i);
114         int right=dichotomy.Right_Search(i);
115         cur_right[right].push_back(i);
116     }
117     Add_Ans_Point();
118 }
119 void Init_First_Status()
120 {
121     go(i,1,n)
122     {
123         f[i]=c[i];
124         go(j,1,i-1)
125         {    
126             if(d[j]+s[j]<d[i])
127             {
128                 f[i]+=w[j];
129             }
130         }
131     }
132 }
133 void Optimized_Dynamic_Programming()
134 {
135     Init_First_Status();
136     ans=f[n];
137     go(k,2,K)
138     {
139         maintain.Init();
140         go(i,1,n)
141         {
142             f[i]=maintain.Query(1,1,n,1,i-1)+c[i];
143             if(cur_right[i].size())
144             {
145                 go(j,0,cur_right[i].size()-1)
146                 {
147                     int Pos=cur_right[i][j];
148                     maintain.Update(1,1,n,1,left_cur[Pos]-1,w[Pos]);
149                 }
150             }
151         }
152         ans=min(ans,f[n]);
153     }
154     printf("%lld\n",ans);
155 }
156 int main()
157 {
158     freopen("in.in","r",stdin);
159     
160     Input_Data();
161     
162     Pre_Handle_of_Dynamic_Programming();
163     
164     Optimized_Dynamic_Programming();
165     
166     return 0;
167 }//Paul_Guderian
【条理清晰？】

 


     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

我无法忘记那只廉价的吉他

和那件破旧的蓝色军装。————汪峰《雨天的回忆》

posted @ 2017-09-17 21:59  大米饼  阅读(350)  评论(2)  编辑  收藏  举报