【loj3045】【ZJOI2019】开关
题目
\(n\)个开关，一开始处于关闭状态，你需要将他们按成\(s\)状态，按成了之后就停止操作;
每次按下开关的i概率为\(\frac{p_i}{\sum_{i=1}^{n}p_i}\) ，问期望步数;
\(1 \le n \le 100 \ , \ \sum_{i=1}^{n}p_i \le 5 \times 10^4 \ , \ p_i \ge 1\)
题解
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Part 1
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设\(F(x)\)表示不停按\(n\)次最后到达 $ s $ 状态的 $ EGF $ ， $ G(x) $ 表示按了 $ n $ 次之后又回到原状态的 $ EGF $ , $ H(x) $ 表示答案的 $ EGF $ ，$ f(x),g(x),h(x) $ 是其分别对应的\(OGF\)
设 \(P=\sum_{i=1}^{n}p_i\)， 考虑\(e^x\)和\(e^{-x}\)的展开构造得：
\[\begin{cases} F(x) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{\frac{p_i}{P}x} + (-1)^{s_i} e^{-\frac{p_i}{P} x }}{2} \\ G(x) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{\frac{p_i}{P}x} + e^{-\frac{p_i}{P}x} }{2} \\ f = g * h \leftrightarrow h = \frac{f}{g} \end{cases} \\根据导数的定义，ans = h'(1) = \frac{f'(1)g(1)-f(1)g'(1)}{g^2(1)} \] -
Part 2
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考虑求f(1)
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\(F(x)\)和\(G(x)\)有共同的形式\(F(x) = \sum_{i=-P}^{P}a_i e^{\frac{i}{P}x}\)
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同理设\(G(x)\)对应系数为\(b_i\) ，下面只讨论F
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首先\(a_i\)和\(b_i\)都可以通过简单的背包求得，然后：
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$f(x) = OGF(F(x)) = \sum_{i=P}{-P}a_i\sum_{j=0} \frac{ijxj}{P^j} = \sum_{i=-P}^{P} \frac{a_i}{1-\frac{i}{P}x } $
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由于f(x)和g(x)在x=0处不收敛，所以同时乘以一个\(\Pi_{i=1}^{n}(1-\frac{i}{P}x)\)
\[f(x) = \sum_{i=-P}^{P}a_i \prod_{j \neq i} (1-\frac{j}{P}x) \to f(1) = a_P \prod_{i \neq P} (1-\frac{i}{P}x) \] -
Part 3
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考虑求\(f'(1)\)
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首先观察
\[(\prod_i(1+a_ix))' \ = \sum_{i} a_i \prod_{j \neq i} (1+a_jx) \] -
\(f'(1)\)分两步求：
\[\begin{cases} \sum_{i\neq P} a_i \sum_{j \neq i}(-\frac{j}{P})\prod_{k \neq i,j} (1-\frac{k}{P}x) \\= -\sum_{i \neq P} a_i \prod_{j \neq P,i}(1-\frac{j}{P}) &i \neq P \\ -a_P \sum_{i \neq P} \frac{i}{P} \prod_{j \neq P,i} (1-\frac{j}{P}x) \\ =-a_P \sum_{i \neq P} \frac{i}{P} \prod_{j \neq P,i} (1-\frac{j}{P}) &i=P \\ \end{cases} \\即f'(1)= -\prod_{i \neq P}(1-\frac{i}{P}x) (\sum_{j \neq P} \frac{a_j}{1-\frac{j}{P}x}+ \frac{a_P}{P} \sum_{j\neq P} \frac{j}{1-\frac{j}{P}x} ) \\ \] -
带入求解(注意到\(a_p=b_p=\frac{1}{2^n}\)，该约的约掉)得：
\[h'(1) = 2^n \sum_{i \neq P} \frac{b_i-a_i}{1-\frac{i}{P}x} \] -
背包求解即可，时间复杂度：\(O(nP)\)
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define mod 998244353 using namespace std; const int N=100010,ny2=(mod+1)>>1; int n,s[N],p[N],f[N],g[N],tmp[N],P; void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;} void upd(int*A,int x,int fg){ for(int i=-P;i<=P;++i)tmp[i+P]=A[i+P],A[i+P]=0; int y1=ny2,y2=(mod+fg*ny2)%mod; for(int i=-P;i<=P;++i){ if(i+x<=P)inc(A[i+x+P],(ll)tmp[i+P]*y1%mod); if(i-x>=-P)inc(A[i-x+P],(ll)tmp[i+P]*y2%mod); } } int pw(int x,int y){ int re=1; while(y){ if(y&1)re=(ll)re*x%mod; y>>=1;x=(ll)x*x%mod; } return re; } char gc(){ static char*p1,*p2,ch[1000000]; if(p1==p2)p2=(p1=ch)+fread(ch,1,1000000,stdin); return(p1==p2)?EOF:*p1++; } int rd(){ int x=0;char c=gc(); while(c<'0'||c>'9')c=gc(); while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc(); return x; } int main(){ // freopen("switch.in","r",stdin); freopen("switch.out","w",stdout); n=rd(); for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=rd()?-1:1; for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=rd(),P+=p[i]; f[P]=g[P]=1; for(int i=1;i<=n;++i){ upd(f,p[i],s[i]); upd(g,p[i],1); } int ans=0; for(int i=0;i<P<<1;++i)inc(ans,(ll)(mod-f[i]+g[i])*pw(2*P-i,mod-2)%mod); ans=(ll)ans*P%mod*pw(2,n)%mod; cout<<ans<<endl; return 0; }
