【纪中集训2019.3.23】染色

题目

描述

一个\(n\)个点\(m\)条边的无向图，求其\(k\)染色的方案数；

染色的方案必须满足对于任意一条边\((u,v)\)，\(u\)和\(v\)不同色；

答案对\(10^9+7\)取模；

范围

\(n \le 10^5 \ , \ m \le n + 5 , 3 \le k\le 10^5\)

题解

• 题解说正常的染色问题是\(NPC\)问题，这题可以通过缩点来做；

• 将图重新定义为有边权\((a,b)\)的图，\(a\)表示两边同色的边权，\(b\)表示两边不同色的边权；

• 如果让初始时\((a,b)=(0,1)\),那么答案就是每种染色之后所有边权乘积 之和；

• 考虑去掉一些可以直接计算答案的点\(u\)：

  • 度数为\(0\)的点：
    • 去掉之后将答案乘以\(k\);
  • 度数为\(1\)的点\((u,v)\)，考虑去掉\(u\)：
    • 有\(k-1\)种情况\(u,v\)同色，\(1\)种情况\(u,v\)异色，所以去掉\(u\)之后答案乘上\(a+(k-1)b\);
  • 度数为\(2\)的点\((u,v_1),(u,v_2)\)，考虑去掉\(u\)，加入新边\((v_1,v_2)\)：
    • 若\(v1,v2\)同色，有\(k-1\)种情况\(u\)和\(v1,v2\)均不同色，\(1\)种情况\(u\)和\(v1,v2\)均同色；
      • 新边的\(a\)即：$a \ = \ a_{1}a_{2} + (k-1)b_{1}b_{2} $
    • 若\(v1,v2\)不同色，有\(k-2\)种情况\(u\)和\(v1,v2\)不同色，\(1\)种情况\(u\)仅和\(v1\)同色，\(1\)种情况\(u\)仅\(和\)\(v1\)同色；
      • 新边的\(b\)即：$b \ = \ a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1} + (k-2)b_1a_1 $
  • 在缩图的过程重回产生重边，合并两条重边：
    • \((a,b) = (a_1*a_2 ,b_1b_2 )\)

• 考虑缩点之后的图不存在度数小于3的节点：

  • \[\begin{cases} 2m \ge 3n \\ m \le n + 5 \\ \end{cases} \]

• 可以解得\(n \le 10 , m \le 15\);

• 然后\(Bell(n)m\)枚举划分统计答案即可；

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define il inline 
  using namespace std;
  const int N=200010,mod=1e9+7;
  int n,m,k,iv[N],fac[N],inv[N],hd[N],o,a[N],b[N],d[N],del[N<<1],vis[N],cnt,U[N],V[N],iE[N],iD[N],bl[N],ans1=1,ans2=0;
  struct Edge{int v,nt;}E[N<<1];
  queue<int>q;
  il char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  il int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  il void adde(int u,int v){
  	d[u]++;d[v]++; 
  	E[o]=(Edge){v,hd[u]};hd[u]=o++;
  	E[o]=(Edge){u,hd[v]};hd[v]=o++;
  } 
  const int sz=12345671;
  struct HASH{
  	int o,hd[sz],nt[N];
  	ll val[N];
  	il void init(int i,int u,int v){
  		if(u>v)swap(u,v);
  		ll x=(ll)u*(n+1)+v;
  		nt[++o]=hd[x%sz],hd[x%sz]=o,val[o]=x;
  		adde(u,v);a[i]=0,b[i]=1;
  	}
  	il int find(int u,int v){
  		if(u>v)swap(u,v);
  		ll x=(ll)u*(n+1)+v;
  		for(int i=hd[x%sz];i;i=nt[i])if(val[i]==x){return i;}
  		nt[++o]=hd[x%sz],hd[x%sz]=o,val[o]=x;
  		adde(u,v);a[++m]=1,b[m]=1;
  		return m;
  	}
  }H;
  il void merge(int u){
  	if(!~d[u])return;
  	vis[u]=0;
  	if(!d[u]){
  		d[u]=-1;
  		ans1=(ll)ans1*k%mod;
  	}else if(d[u]==1){
  		int v=0;
  		for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){
  			if(del[i])continue;
  			del[i]=del[i^1]=1;
  			v=E[i].v;
  			break;
  		}
  		int t=H.find(u,v);
  		ans1=(ll)ans1*(a[t]+(ll)b[t]*(k-1)%mod)%mod;
  		d[u]=-1;--d[v];
  		if(d[v]<=2&&!vis[v]){vis[v]=1;q.push(v);}
  	}else{
  		int v1=0,v2=0;
  		for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){
  			if(del[i])continue;
  			del[i]=del[i^1]=1;
  			if(!v1){v1=E[i].v;continue;}
  			v2=E[i].v;break;
  		}
  		int t=H.find(v1,v2),t1=H.find(u,v1),t2=H.find(u,v2);
  		a[t]=(ll)a[t] * ((ll)(k-1)*b[t1]%mod*b[t2]%mod + (ll)a[t1]*a[t2]%mod)%mod;
  		b[t]=(ll)b[t] * ((ll)(k-2)*b[t1]%mod*b[t2]%mod + (ll)a[t1]*b[t2]%mod + (ll)b[t1]*a[t2]%mod)%mod; 
  		d[u]=-1;--d[v1];--d[v2];
  		if(d[v1]<=2&&!vis[v1]){vis[v1]=1;q.push(v1);}
  		if(d[v2]<=2&&!vis[v2]){vis[v2]=1;q.push(v2);}
  	}
  }
  il void cal(int y){
  	int re=1;
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		if(bl[U[i]]==bl[V[i]])re=(ll)re*a[iE[i]]%mod;
  		else re=(ll)re*b[iE[i]]%mod;
  	}
  	re=(ll)re*fac[k]%mod*inv[k-y]%mod;
  	ans2=(ans2+re)%mod;
  }
  void dfs(int x,int y){
  	if(y>k)return;
  	if(x==n+1){cal(y);return;}
  	for(int i=1;i<=y+1;++i){
  		bl[x]=i;
  		dfs(x+1,max(i,y));
  	}
  }
  int main(){
  	freopen("color.in","r",stdin);
  	freopen("color.out","w",stdout);
  	n=rd();m=rd();k=rd();
  	for(int i=1;i<=n;++i)hd[i]=-1;
  	iv[1]=1;for(int i=2;i<=k;++i)iv[i]=(ll)(mod-mod/i)*iv[mod%i]%mod;
  	for(int i=fac[0]=inv[0]=1;i<=k;++i){
  		fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
  		inv[i]=(ll)inv[i-1]*iv[i]%mod;
  	}
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		int u=rd(),v=rd();
  		H.init(i,u,v);
  		H.find(u,v);
  	}
  	for(int i=1;i<=n;++i)if(d[i]<=2)q.push(i),vis[i]=1;
  	while(!q.empty())
  	merge(q.front()),q.pop();
  	int tmp=0;for(int i=1;i<=n;++i)if(~d[i])iD[i]=++tmp;
  	n=tmp;tmp=0;
  	for(int i=1;i<=m;++i)if(!del[(i-1)<<1]){
  		int u=E[(i-1)<<1].v,v=E[(i-1)<<1|1].v;
  		++tmp;u=iD[u];v=iD[v];
  		U[tmp]=u;V[tmp]=v;iE[tmp]=i;
  	}
  	m=tmp;dfs(1,0);
  	cout<<(ll)ans1*ans2%mod<<endl;
  	return 0;
  }