hihoCoder #1809 : 本题数据范围五千

Analysis

（一）

猜想：答案跟 \(q_1, q_2, q_3\) 无关；考虑排列 \(q\) 是 \(1, 2, 3\) 的情况，此时符合要求的排列 \(p\) 实际上满足：

对于任意 \(i < j < k\) 有 \(p_i, p_j, p_k\) 不是单调递增的。

（二）

注意到：\(1\) 到 \(n-1\) 的排列仍需满足上述条件，而 \(1\) 到 \(n\) 的排列是由向 \(1\) 到 \(n-1\) 的排列中的某个位置插入 \(n\) 得到的，也就是说「符合要求的排列具有子结构」。考虑把 \(n\) 插入到哪个位置才能不破坏上述性质，不难看出只要满足「 \(n\) 之前的排列是单调递减的」即可。

因此，我们可以按「单调递减的最长前缀的长度」将所有长为 \(n\) 的排列分类。

于是可令 \(a[n][l]\) 表示长为 \(n\) 且「单调递减的最长前缀的长度」为 \(l\) 且符合条件的排列的个数。

转移方程为

\begin{aligned}
a[n][l] &= \mathtip{a[n-1][l-1]}{\text{put \(n\) at the beginning}} + \mathtip{\sum_{i = l}^{n-1} a[n-1][i]}{\text{put \(n\) after the \(l\)-th number}} \\
&= \sum_{i= l-1}^{n-1} a[n-1][i] \\
&= a[n][l+1] + a[n-1][l-1]
\end{aligned}

注意到数组 \(a\) 的第一维可以优化掉。

时间复杂度 \(O(n^2)\)
空间复杂度 \(O(n)\)