Codeforces Global Round 10, H ZS Shuffles Cards

本文记录 conqueror_of_tourist 提出的解法。

题目大意

考虑纸牌游戏：

牌堆由 $\mathsf{1}$ 到 $\mathsf{n}$ 共 $n$ 张数字牌和 $m$ 张鬼牌组成。初始时牌堆打乱。每回合中不断从堆顶取牌，取到鬼牌为止。记下本回合取出的数字牌。将取的牌全部放回牌堆，并将牌堆打乱。若至此全部 $n$ 个数字都被取出过，游戏结束，否则进行下一回合。

求游戏结束时抽牌的总数的期望。

分析

第一步

$\text{答案} = \text{一回合抽的牌数的期望} \times \text{回合数的期望}$。

$\text{一回合取出的牌数的期望} = \text{一回合取出的数字牌的数量的期望} + 1$。

$\text{一回合取出的数字牌的数量的期望} = n \times \text{在一个回合中数字 $\mathsf{1}$ 被取出的概率}$。

第二步

在一个回合中数字 $\mathsf{1}$ 被取出的概率是 $\frac{1}{m+1}$。

证明：在一个回合中数字 $\mathsf{1}$ 被取出相当于数字 $\mathsf{1}$ 排在全部 $m$ 张鬼牌之前。设牌堆中数字 $\mathsf{1}$ 之前有 $x$ 张鬼牌，$x$ 的取值有 $0, 1, \dots, m$ 共 $m + 1$ 种，并且 $x$ 取每个值的概率都相等，故在一个回合中数字 $\mathsf{1}$ 被取出的概率为 $\frac{1}{m+1}$。

至此知答案为 $(\frac{n}{m+1} + 1) \times \text{回合数的期望}$。

第三步

设在当前回合开始或进行过程中还有 $i$ 张数字牌从未取出的条件下，（包括当前回合）游戏还要进行的回合数的期望为 $a_i$。边界条件是 $a_0 = 1$。有递推
$a_i = \frac{m}{m + i} (a_i + 1) + \frac{i}{m+i} a_{i - 1}$，$i \ge 1$。
解得，$a_i = \frac{m}{i} + a_{i - 1}$，$i \ge 1$。
即有 $a_i = m (1 + 1/2 + \dots + 1/i) + 1$。

注意，不能认为边界条件是 $a_0 = 0$。或者也可以从 $a_1$ 满足的递推 $a_1 = \frac{m}{m + 1} (a_1 + 1) + \frac{1}{m+1}$ 解出 $a_1 = m + 1$ 作为边界条件。

至此知答案为 $(\frac{n}{m+1} + 1) (m (1 + 1/2 + \dots + 1/n) + 1)$。