Codeforces 1158C Permutation recovery

https://codeforces.com/contest/1158/problem/C

题目

已知 \(p_1, p_2, \dots, p_n\) 是 \(1\) 到 \(n\) 的一个排列。

给出关于这个未知排列的一些描述：对于某些下标 \(i\)，\(p_i\) 右边第一个大于 \(p_i\) 的数的下标是 \(R_i\) 。 \(R_i = n + 1\) 意味着 \(p_i\) 右边没有大于 \(p_i\) 的数。

试问是否存在一个排列满足所有描述？若存在，任意给出一个这样的排列，若不存在，输出 -1 。

Constraints:

$ n \le 500000$

分析

很容易往拓扑序的方向思考。

\(R_i = j\) 等价于

\(p_i < p_j\)
\(p_{i+1} < p_i\)
\(p_{i+2} < p_i\)
...
\(p_{j - 1} < p_i\)

若对每个不等式都往图中加一条边，则边数是 \(O(n^2)\) 的。

怎样减少边的数量呢？或者说哪些边不用加进图里？

实际上，对于每个下标 \(i\)，可以只选择（能确定的）左边第一个比 \(p_i\) 大的数所在的下标 \(L_i\) 和右边第一个比 \(p_i\) 大的数所在的下标 \(R_i\) 。
换言之，只加入 \((i, R_i)\) 和 \((i, L_i)\) 这两条有向边就够了。
为什么是这样，请读者思考。