随笔分类 - 数学
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摘要：一个计算连续型随机变量期望的方法。
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摘要：卡特兰数出现在许多计数问题中。 常见的例子有：\(n\) 个节点的有序二叉树，\(2n\) 个括号构成的合法括号序列。 在上面所举的两个例子中，很容易看出卡特兰数满足递推： \[ C_{n+1} = \sum_{i = 0}^{n} C_i C_{n-i }, \quad(n \ge 1) \] \
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摘要：$C^0$：函数连续 $C^1$：导函数连续 $C^r$：一到 $r$ 阶导函数都连续 注意：并没有把【函数连续但导函数不连续】的函数专门分成一类。
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摘要：这个定理是从吴崇试老师的数学物理方法课里看到的，表述如下： 有界的无穷（复数）序列至少有一个聚点。 序列的聚点定义为 给定序列 \(\{z_n\}\)，若存在复数 \(z\)，对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\) 恒有无穷多个 \(z_n\) 满足 \(| z- z_n| < \v
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摘要：域 "definition of fields" Classic_definition) 域（field）是一种代数结构（algebraic structure）。 ... This may be summarized by saying: a field has two operations, t
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摘要：格式：$\newcommand{\dif}{\mathop{}\\!\mathrm{d}}$ / 连接的是同一个概念的两个名称 ，表示列举 ？表示TODO （）表示注解 chap 1 概念 概率空间 A probability space is a triple $(\Omega, \mathcal
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摘要：题目大意 考虑自然数构成的序列 $a$：$01234567891011\dots$，序列下标从 $0$ 开始，即 $a_0 =0, a_1 = 1$ 。 求 $a_n$（$0\le n\le 10^{18}$）。 解法 设 $a_n$ 所在的数字为 $x(n)$ 。 首先不难求出 $x(n)$ 的位
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摘要：昨晚乱入学弟的训练赛，想了一下这个题。推导的过程中，加深了对公理化的概率论的理解。$\newcommand{\d}{\mathop{}\\!\mathrm{d}}$ 解法一 考虑 $ d d$ 的情形，此时有 \begin{align} f(x) &= 1 + \int_0^x \frac{\d y
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摘要：题意 给出点数为 $n$（$n \le 1000$）的完全图 $K_n$，带边权。随机出 $K_n$ 的一棵生成树 $T$。求 $T$ 上任意两点间距离的期望。 解法 固定两点 $u$、$v$（$u \le v$），考虑生成树 $T$ 上 $u$ 到 $v$ 的路径 $P_{uv}$。$P_{uv}
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摘要：我在这道题上花了2个小时，仍没解出。理一下当时的思路，看看症结到底在哪里。 题意 用 $[n]$ 表示集合 $\\{1,2,3,\dots, n\\}$ 。 3个函数 $f \colon [n] \to [n]$ $g \colon [n] \to [m]$ $h \colon [m] \to [n
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摘要：问题1 给出一个$1 \sim n$的全排列$P$, 求它是所有全排列的第几个 (0 based)? 做法 从左到右看$P$的每一位, 考虑当前可以确认有多少全排列在$P$之前. $ $: 所有第一位是$1 \sim P_1 1$的排列都在$P$之前, 共有 $(P_1 1)(n 1)!$个. $P
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摘要：分数的和取模 考虑两个分数 $\frac ab, \frac cd$（$a,b, c, d\in \mathbb{Z}$，$b,d 0$），正整数 $m$ 和 $b, d$ 都互质。若正整数 $x$ 与 $m$ 互质，用 $x^{ 1}$ 表示 $x$ 在模 $m$ 下的逆元。则有 $ab^{ 1}
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摘要：传送门 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)Special Judge Problem DescriptionThere is a river on the Cartesi
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摘要：传送门 Time Limit: 6 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 73 Solved: 14 Description Input 多组输入数据。 每组数据： 第一行两个整数n，r（1 <= r <= n <= 1000000）。 第二行r个不同的整数表示：集合S的一
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摘要：传送门 Leftmost Digit Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 15305 Accepted Submission(s):
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摘要：传送门 时间限制:10000ms 单点时限:1000ms 内存限制:256MB 时间限制:10000ms 单点时限:1000ms 内存限制:256MB 描述 小Ho：喂不得了啦，那边便利店的薯片半价了! 小Hi：啥?! 小Ho：那边的便利店在打折促销啊。 小Hi：走走走，赶紧去看看=v= 于是小Hi
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摘要：时间限制:5000ms单点时限:1000ms内存限制:256MB描述大家对斐波那契数列想必都很熟悉:$a_0 = 1, a_1 = 1, a_i = a_{i-1} + a_{i-2}, (i > 1)$。现在考虑如下生成的斐波那契数列:$a_0 = 1, a_i = a_j + a_k, i >
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摘要：$\DeclareMathOperator{\rev}{rev}$ 传送门：基因工程 这道题拖了好久，一直没有清晰的思路。 当然，$k\le\frac{n}{2}$ 时，比较简单。下面我着重讲一下当 $k>\frac{n}{2}$ ，即前 $k$ 个字符与后 $k$ 个字符有重叠时，如何思考这个问题
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