『分块算法初步』

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<正文>

分块

分块查找是折半查找和顺序查找的一种改进方法,分块查找由于只要求索引表是有序的,对块内节点没有排序要求,因此特别适合于节点动态变化的情况。

分块其实可以说是一种偏数据结构类的通用型算法吧,没有很艰深的内容,与暴力最为相似,但是在很多题目中都能派上很好的用场。

我们可以先通过一道模板例题来了解分块。

Description

给出一个长为\(n\)的数列,以及\(n\)个操作,操作涉及区间加法,单点查值。

Solution

这道题当然可以用树状数组,线段树等经典的数据结构来解决,我们现在来谈一谈分块的做法。

分块就是讲原本序列中的n个数"打包"分为\(sqrt(n)\)个块,对于区间的操作,我们可以对每一个块进行标记处理,等到查询时再检查是否有更新记录,利用类似于这样的思想来优化时间复杂度。

具体的,我们可以这样做。

1.使\(t=sqrt(n)\),将原序列分为\(t\)个块,其中,第\(i\)个块的覆盖范围为\([(i-1)*t+1,i*t]\)
2.对于最后剩下不完全的部分,额外的分一个块,其范围为\([n-\lfloor{\frac{n}{t}}\rfloor*t+1,n]\)
3.预处理一个数组\(pos[i]\),代表第\(i\)个元素所在块的下标
4.对于区间加法操作,区间包含的部分一定为若干个完整的块(可能\(0\)个)和至多两个不完整的块,对于不完整的块,我们可以暴力扫描进行加法更新,对于完整的块\(i\),我们可以令\(changed[i]+=delta\),表示第i个块有一个整体的\(+delta\)更新操作,先记录下来。
5.对于查询操作,我们可以直接返回\(a[x]+change[pos[x]]\)

这就是分块算法的基本流程,引用\(lyd\)大佬一句话来形容,就是大段维护,局部朴素,可以认为是暴力的优化,具有较好的直观性,代码量不长,容易拓展。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+200,M=100000+200,sqrtN=400;
int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];
long long changed[sqrtN],a[N];
inline void input(void)
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void init(void)
{
	t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
		R[i]=i*sqrt(n);
	}
	if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n;
	for(int i=1;i<=t;i++)
		for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
			pos[j]=i;
} 
inline void change(int l,int r,long long delta)
{
	int p=pos[l],q=pos[r];
	if(p==q)
		for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=delta;
	else
	{
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
			changed[i]+=delta;
		for(int i=l;i<=R[p];i++)
			a[i]+=delta;
		for(int i=L[q];i<=r;i++)
			a[i]+=delta;
	}
}
inline long long ask(int x)
{
	return a[x]+changed[pos[x]];
}
inline void solve(void)
{
	int index,l,r;long long delta;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta);
		if(!index)
			change(l,r,delta);
		else printf("%lld\n",ask(r));
	}
} 
int main(void)
{ 
	input();
	init();
	solve();
	return 0;
}

Description

给出一个长为\(n\)的数列,以及\(n\)个操作,操作涉及区间加法,询问区间内小于某个值\(x\)的元素个数。

Solution

这道题就是分块算法的简单拓展,对原来算法进行简单的改进就可以解决该问题。

除了增量标记外,每一个块我们额外维护一个有序序列。用\(vector\)储存每一个块的有序序列并直接利用\(sort\)排序即可。

对于区间加法,整块的部分直接累加增量标记,非整块的部分暴力修改单点权值,并对部分修改的块重置有序序列即可。
对于查询,整块的部分直接二分查找有序序列中大小第一个大于等于\(c*c-change[i]\)的部分,数量即为该位置减掉数组首地址,累加每一个整块的数量即可,非整块的部分暴力统计即可累加答案。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50000+200,M=50000+200,sqrtN=300;
int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];
int changed[sqrtN],a[N];
vector < int > section[sqrtN];
inline void input(void)
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
}
inline void reset(int x)
{
	section[x].clear();
	for(int i=L[x];i<=R[x];i++)
		section[x].push_back(a[i]);
	sort(section[x].begin(),section[x].end()); 
}
inline void init(void)
{
	t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
		R[i]=i*sqrt(n);
	}
	if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n;
	for(int i=1;i<=t;i++)
		for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
			pos[j]=i;
	for(int i=1;i<=t;i++)
		reset(i);
}
inline void change(int l,int r,int delta)
{
	int p=pos[l],q=pos[r];
	if(p==q)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)
			a[i]+=delta;
		reset(p);
	}
	else
	{
		for(int i=l;i<=R[p];i++)
			a[i]+=delta;
		reset(p);
		for(int i=L[q];i<=r;i++)
			a[i]+=delta;
		reset(q);
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
			changed[i]+=delta; 
	}
} 
inline int ask(int l,int r,int limit)
{
	int p=pos[l],q=pos[r];
	int ans=0;
	if(p==q)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)
			if(a[i]+changed[p]<limit)ans++;
	}
	else
	{
		for(int i=l;i<=R[p];i++)
			if(a[i]+changed[p]<limit)ans++;
		for(int i=L[q];i<=r;i++)
			if(a[i]+changed[q]<limit)ans++;
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
			ans+=lower_bound(section[i].begin(),section[i].end(),limit-changed[i])-section[i].begin();
	}
	return ans;
}
inline void solve(void)
{
	int l,r,index;int delta;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&index,&l,&r,&delta);
		if(!index)
			change(l,r,delta);
		else printf("%d\n",ask(l,r,delta*delta)); 
	}
}
int main(void)
{
	input();
	init();
	solve();
	return 0;
} 

Description

给出一个长为\(n\)的数列,以及\(n\)个操作,操作涉及区间加法,询问区间内小于某个值\(x\)的前驱(比其小的最大元素)。

Solution

这道题其实和第二题类似,也是维护每一个块的区间有序性,前驱直接二分查找即可。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+200,sqrtN=400;
const long long INF=LONG_LONG_MAX;
int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];
long long changed[sqrtN],a[N];
vector < long long > section[sqrtN];
inline void input(void)
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void reset(int x)
{
	section[x].clear();
	for(int i=L[x];i<=R[x];i++)
		section[pos[i]].push_back(a[i]);
	sort(section[x].begin(),section[x].end());
}
inline void init(void)
{
	t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
		R[i]=i*sqrt(n);
	}
	if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n;
	for(int i=1;i<=t;i++)
		for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
			pos[j]=i;
	for(int i=1;i<=t;i++)
		reset(i);
}
inline void change(int l,int r,long long delta)
{
	int p=pos[l],q=pos[r];
	if(p==q)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)
			a[i]+=delta;
		reset(p);
	}
	else
	{
		for(int i=l;i<=R[p];i++)
			a[i]+=delta;
		reset(p);
		for(int i=L[q];i<=r;i++)
			a[i]+=delta;
		reset(q);
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
			changed[i]+=delta;
	}
}
inline void updata(long long &ans,long long val,long long limit)
{
	if(val<limit&&val>ans)ans=val;
}
inline long long ask(int l,int r,long long limit)
{
	int p=pos[l],q=pos[r];
	long long ans=-1;
	if(p==q)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)
			updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);
	}
	else
	{
		for(int i=l;i<=R[p];i++)
			updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);
		for(int i=L[q];i<=r;i++)
			updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
			updata(ans,section[i][lower_bound(section[i].begin(),section[i].end(),limit-changed[i])-section[i].begin()-1]+changed[i],limit);
	}
	return ans;
}
inline void solve(void)
{
	int l,r,index;long long delta;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta);
		if(!index)
			change(l,r,delta);
		else printf("%lld\n",ask(l,r,delta)); 
	}
}
int main(void)
{
	input();
	init();
	solve();
	return 0;
} 

Description

给出一个长为\(n\)的数列,以及\(n\)个操作,操作涉及区间加法,区间求和。

Solution

这道题的拓展也是比较典型的。我们只需要再维护每一块的权值和就可以快速的解决查询问题,对于权值和的更新,只需要对每一次加法操作是进行顺带更新即可。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000+200,M=100000+200,sqrtN=400;
int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];
long long changed[sqrtN],sum[sqrtN],a[N];
inline void input(void)
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void init(void)
{
	t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
		R[i]=i*sqrt(n);
	}
	if(R[t]<n)t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=n;
	for(int i=1;i<=t;i++)
		for(int j=L[i];j<=R[i];j++)
			pos[j]=i,sum[i]+=a[j];
} 
inline void change(int l,int r,long long delta)
{
	int p=pos[l],q=pos[r];
	if(p==q)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=delta;
		sum[p]+=delta*(r-l+1);
	}
	else
	{
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
			changed[i]+=delta;
		for(int i=l;i<=R[p];i++)
			a[i]+=delta;
		sum[p]+=delta*(R[p]-l+1);
		for(int i=L[q];i<=r;i++)
			a[i]+=delta;
		sum[q]+=delta*(r-L[q]+1); 
	}
}
inline long long ask(int l,int r,long long mod)
{
	int p=pos[l],q=pos[r];
	long long ans=0;
	if(p==q)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)ans+=a[i];
		ans+=changed[p]*(r-l+1);
		ans%=mod;
	}
	else
	{
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
			ans+=sum[i]+changed[i]*(R[i]-L[i]+1),ans%=mod;
		for(int i=l;i<=R[p];i++)
			ans+=a[i],ans%=mod;
		ans+=changed[p]*(R[p]-l+1),ans%=mod;
		for(int i=L[q];i<=r;i++)
			ans+=a[i],ans%=mod;
		ans+=changed[q]*(r-L[q]+1),ans%=mod;
	}
	return ans;
}
inline void solve(void)
{
	int l,r,index;long long delta;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta);
		if(!index)
			change(l,r,delta);
		else printf("%lld\n",ask(l,r,delta+1)%(delta+1));
	}
} 
int main(void)
{
	input();
	init();
	solve();
	return 0;
}

总结

分块算法可以说是一种优雅的暴力优化,在处理区间问题上有很大的帮助,通过对几道例题的认识,我们可以归纳得到如下要点:

  • 是否可以用分块算法?区间问题,具有整体维护的可行性
  • 使用分块算法需要考虑的问题?1.如何预处理 2.如何处理不完整的块 3.如何维护完整的块

<后记>

posted @ 2019-03-01 20:48  Parsnip  阅读(579)  评论(0编辑  收藏  举报