背包问题 （1）

背包问题

1.01背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
Hdu 2602 Bone Collector
样例输入：
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
样例输出：
14
定义：f[i][j]表示前i件恰好放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值的。
状态转移方程：f[i][j] = max{f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]}
答案是:f[n][v]。
下表就是DP表（md打表真的好麻烦...）：

w[i]\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1
4	0	0	0	0	2	2	2	2	2	3	3
3	0	0	0	3	3	3	3	5	5	5	5
2	0	0	4	4	4	7	7	7	7	9	9
1	0	5	5	9	9	9	12	12	12	12	14

                           表1

f[i][j]是由f[i-1][j]和f[i-1] [j-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][j]时（也即在第i次主循环中推f[j]时）能够得到f[i-1][j]和f[i-1][j -c[i]]的值呢？
从V->0的顺序来递推就行了。
递推公式为f[j]=max{f[j],f[j-c[i]]+w[i]};

我们都知道 f[i-1][j-c[i]] ,f[i-1][j] 可以推出f[i]
但是为什么0~V是不行的呢？
下表是0~V的表。

w[i]\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	2
4	0	0	0	0	2	2	2	2	4	4	4
3	0	0	0	3	3	3	6	6	6	9	9
2	0	0	4	4	8	8	12	12	16	16	20
1	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50

                             表2

很明显这是不行的。因为顺推的时候，f[j]=max{f[j],f[j-c[i]]+w[i]},f[j-c[i]]表示的是f_i[j-c[i]]而不是f_i-1[j-c[i]]。如果还是不懂，之后再01背包和完全背包中的解释会有对比理解。

2.完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
Uva 674 Coin Change

定义：f[i][j]表示前i件恰好放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值的。

递推方程：
当前背包为j，我们考虑第i件物品可不可以放入。

1. j < w[i],不放，f[i][j] = f[i-1][j]
2. j >= w[i],可以放，但是考虑代价
   f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-c[i]]+w[i])
3. 总结
   f[i][v] = max

注意：这里的是f[i][j-c[i]] 而01背包是f[i-1][j-c[i]],这就是他们在二维数组上的不同

那么一维数组是什么呢？就是在之前01背包讨论时的顺推！！！
那么打表也就是表2。

这究竟是为什么呢？

3.01背包与完全背包的区别

在二维数组01背包的递推式是这样的：
f[i-1][j-c[i]]（1）——— f[i-1][j]（2）
———————————— f[i][j]（4）
完全背包是这样的：
———————————— f[i-1][j]（2）
f[i][j-c[i]]（3）———— f[i][j]（4）

也就是说，在使用一维数组的时候，需要注意，f[j-c[i]]究竟表达的是什么。
如果是顺推,计算顺序是1,2,3,4（上图标号）
f[j]表达顺序是 2,4，f[j-c[i]]表达顺序是1,3
此时：f[j]（4）=max{f[j]（2）,f[j-c[i]]（3）+w[i]}
如果是逆推,计算顺序是2,1,4,3（上图标号）
f[j]表达顺序是 2,4，f[j-c[i]]表达顺序是1,3
此时：f[j]（4）=max{f[j]（2）,f[j-c[i]]（1）+w[i]}
这就是两种背包的区别。