note_4.10

单位根反演

\[\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{in}=[k|n] \]

所以

\[\begin{equation} \begin{split} \sum_{i=1}^{n}a_i[k|i]&=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{j=0}^{k-1}\omega_k^{ji}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=1}^{n}a_i\omega_k^{ji}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}f(\omega_k^{j}) \end{split} \end{equation} \]

这样可以使得复杂度从\(n\)倾向\(k\)

在模\(998244353\)的意义下，\(\omega_k^{1}=g^{\frac{P-1}{k}}\)

概率生成函数

定义

我们定义一个形式幂级数\(A(x)\)，称它为离散随机变量\(X\)的概率生成函数

其中\(A(x)\)的每一项系数\(a_i\)，都有\(a_i=P(X=i)\)

性质

\(A(1)=1\)

\(A'(x)=E(X)=\sum iP(X=i)x^{i-1}\)

半平面交

大佬