多项式幂函数（加强版）

传送门

Solution

对于问题\(B(x)=A^k(x) \mod x^n\)

我们有一个既定的式子

\[B(x)=e^{k\ln(A(x))} \]

如果此时不保证\(a_0=1\)，那么就不能保证\([k\ln(A(x))](0)=0\)，在求exp的时候，就会很麻烦

解决办法是，我们设\(a_tx^t\)是多项式的\(A\)的次数最小的项

那么直接将原来的多项式除去\(a_tx^t\)，最后求完exp后再乘回\(a_t^kx^{tk}\)即可

实践的时候，发现如果直接套用原来的模板，求出来的恰好就是\((\frac{A(x)}{a_tx^t})^k\)

虽然不知道为什么，感觉怎么也证明不出来，貌似是有问题的吧

还是先把原式都除以\(a_tx^t\)再算比较靠谱些

Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define reg register
const int N=1<<18|5,P=998244353,g=3,invg=332748118;
inline int read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x*10ll+ch-'0')%P;ch=getchar();}
	return x*f;
}
#define Mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%P)
#define ri reg int i
int _[N],pos[N];
int fpow(int x,int m){int r=1;for(;m;m>>=1,x=Mul(x,x))if(m&1)r=Mul(r,x);return r;}
void der(int *a,int *b,int n){for(ri=0;i<n-1;++i) b[i]=Mul(i+1,a[i+1]);b[n-1]=0;}
void inte(int *a,int *b,int n)
{
	ri;for(_[1]=i=1;i<n;++i,_[i]=Mul(_[P%i],P-P/i));
	for(i=n-1;i;--i)b[i]=Mul(a[i-1],_[i]);b[0]=0;
}
void init(int len)
{
	reg int i;
	for(i=0;i<len;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)*(len>>1));
}
void NTT(int *a,int n,int type)
{
	register int i,j,k,w,wn,X,Y;
	for(i=0;i<n;++i) if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
	for(i=1;i<n;i<<=1)
	{
		wn=fpow(type>0?g:invg,(P-1)/(i<<1));
		for(j=0;j<n;j+=i<<1)for(w=1,k=0;k<i;++k,w=Mul(w,wn))
		{
			X=a[j+k],Y=Mul(w,a[j+k+i]);
			a[j+k]=(X+Y)%P;a[j+k+i]=(X-Y+P)%P;
		}
	}
	reg int invn=fpow(n,P-2);
	if(type==-1)for(i=0;i<n;++i)a[i]=Mul(a[i],invn);
}
void Comb(int *a,int *b,int *c,int n)
{
	static int A[N],B[N],len;
	for(len=1;len<(n<<1);len<<=1);
	memcpy(A,a,sizeof(int[n]));memcpy(B,b,sizeof(int[n]));
	memset(A+n,0,sizeof(int[len-n]));memset(B+n,0,sizeof(int[len-n]));
	reg int i;init(len);NTT(A,len,1);NTT(B,len,1);
	for(i=0;i<len;++i) c[i]=Mul(A[i],B[i]);NTT(c,len,-1);
	memset(c+n,0,sizeof(int[len-n]));
}
void _I(int *A,int *b,int n)
{
	if(n==1) return(void)(b[0]=fpow(A[0],P-2));
	int t=(n+1)>>1;_I(A,b,t);
	static int a[N],len;
	for(len=1;len<(n<<1);len<<=1);
	memcpy(a,A,sizeof(int[n]));memset(a+n,0,sizeof(int[len-n]));
	memset(b+t,0,sizeof(int[len-t]));init(len);
	reg int i;NTT(a,len,1);NTT(b,len,1);
	for(i=0;i<len;++i)b[i]=(Mul(2ll,b[i])-Mul(a[i],Mul(b[i],b[i]))+P)%P;
	NTT(b,len,-1);memset(b+n,0,sizeof(int[len-n]));
}
void Inv(int *A,int *b,int n)
{
	static int a[N];
	memcpy(a,A,sizeof(int[n]));
	_I(a,b,n);
}
void ln(int *A,int *B,int n)
{
	static int a[N],da[N];
	memcpy(a,A,sizeof(int[n]));memcpy(da,A,sizeof(int[n]));
	Inv(a,a,n);der(da,da,n);Comb(da,a,B,n);inte(B,B,n);
}
void _e(int *a,int *b,int n)
{
	if(n==1)return(void)(b[0]=1);
	int t=(n+1)>>1;_e(a,b,t);
	static int xxx[N];
	ln(b,xxx,n);reg int i;
	for(i=0;i<n;++i)xxx[i]=(-xxx[i]+a[i]+P)%P;
	xxx[0]=(xxx[0]+1)%P;
	Comb(b,xxx,b,n);
}
void exp(int *A,int *b,int n)
{
	static int a[N];
	memcpy(a,A,sizeof(int[n]));
	_e(a,b,n);
}
int A[N],xxx[N],B[N],n,k;
int main()
{
	n=read();k=read();
	reg int i,zero=0,x,K;bool flag=false;
	for(i=0;i<n;++i)
	{
		x=read();
		!(x||flag)?++zero:flag=true,A[i-zero]=x;
	}
	if(!flag)
	{
		for(i=0;i<n;++i) putchar('0'),putchar(' ');
		return 0;
	}
	K=fpow(A[0],k);
	for(i=0;i<n-zero;++i) A[i]=Mul(A[i],K);
	ln(A,xxx,n-zero);
	for(i=0;i<n-zero;++i) xxx[i]=Mul(xxx[i],k);
	exp(xxx,B,n-zero);zero=Mul(zero,k);
	for(i=0;i<min(zero,n);++i) putchar('0'),putchar(' ');
	for(i=zero;i<n;++i) printf("%d ",Mul(B[i-zero],K));
	return 0;
}

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