编程基础1： 用补码去表达整数

在日常生活中，我们常用十进制的数字，在本文主要讨论在程序的世界中如何去存储一个整数（暂不讨论小数）。

一、二进制

现代电子计算机的基本存储和计算单元（如晶体管、逻辑门等）都只有开（1）和关（0）的状态，
开（导通） → 1
关（不导通） → 0
所以在程序的世界都采用二进制来表达数据。
例如 浮栅晶体管（Floating Gate Transistor, FGT）是一种特殊类型的 MOSFET（Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor, 金属氧化物半导体场效应晶体管），广泛用于闪存（Flash Memory），如 SSD、USB、EEPROM 等存储设备。
浮栅晶体管的核心作用是利用电荷存储数据：

写入（Program）：通过高压（隧道效应），将电子注入浮栅，使其带负电。
擦除（Erase）：施加反向高压，使电子离开浮栅。
读取（Read）：检测浮栅是否带电，决定存储的数据是 0 还是 1。

状态 表示的二进制数据
无电荷 0
有电荷 1

📌 为什么 0 代表带电，1 代表无电？

当浮栅带负电，会阻止电流流动，表示 0。
当浮栅无电荷，电流可以正常流过，表示 1。

设计一个可以表达10种状态的元器件去实现10进制计算机不是完全没可能，只是这样的硬件设计会很复杂，不值得

十进制 → 二进制

示例方法：整数部分采用 “除 2 取余” 法
对于十进制整数，使用不断除以 2，记录余数的方法，直到商为 0，最后倒序排列余数。

示例：将 18₁₀ 转换为二进制
18 ÷ 2 = 9，余 0
9 ÷ 2 = 4，余 1
4 ÷ 2 = 2，余 0
2 ÷ 2 = 1，余 0
1 ÷ 2 = 0，余 1 （商变为 0，停止）
结果：18₁₀ = 10010₂ （倒序排列余数）

二进制 → 十进制

方法：按位展开计算
二进制转换为十进制，使用按位展开，根据 权值 (2ⁿ) 计算。

示例 ：将 10010₂ 转换为十进制
按照权重展开：
image

结果：10010₂ = 18₁₀

二、如何表达一个整数

如果不考虑负数的话，好像把十进制转换为二进制，那整数的表达讲完了，但是我们不能忽略负数，并且恰恰是负数给这个事情带来麻烦。
首先我们自然想到设置一个标志位来表示符号。

原码

例如在一个8位的二进制数据种用最高位表示符号，0代表正数，1代表负数。
+5：00000101
-5：10000101

原码缺陷：

  • +0（00000000）和 -0（10000000）是两个不同的编码，导致比较和运算时需要额外判断。
  • 原码和反码的加减法需要区分符号位，硬件电路复杂：
    例如，计算 A - B 时：
    先比较 A 和 B 的符号
    再决定是做加法还是减法。(例如 -3-5 其实是做加法)
    最后调整结果的符号。（例如3-5的结果是负数）
  • 需要分别设计加法器和减法器电路

反码

现代计算机中已被补码取代：

  1. 反码的核心作用

  • 早期计算机的负数表示
    在补码成为标准前，反码是表示有符号整数的常见方式：
    规则：负数 = 正数的按位取反（0变1，1变0）。
    示例（8位）：
    +5：00000101
    -5：11111010

  • 简化减法运算
    反码可将减法转换为加法，但需处理循环进位（End-Around Carry）：
    运算步骤：
    将减数取反（转换为负数反码）。
    与被减数相加。
    若最高位有进位，结果需加1（循环进位）。
    示例：7 - 5：
    7：00000111
    -5（反码）：11111010
    相加：00000111 + 11111010 = 1 00000001（产生进位）
    循环进位：00000001 + 1 = 00000010（结果2，正确）。

  1. 反码的缺陷
  • 零的表示不唯一
    +0：00000000
    -0：11111111
    导致比较和运算时需要额外判断，增加硬件复杂度。
  • 运算效率低
    循环进位需要额外步骤。

补码

1. 补码的定义

补码是一种用固定位数二进制表示有符号整数的方法。对于 n 位补码：

  • 最高位（MSB, Most Significant Bit） 是符号位：
    • 0 表示 非负数（正数或零）。
    • 1 表示 负数。
  • 数值范围：
    • 最小值：-2^{n-1}（如 8 位补码的最小值是 -128）。
    • 最大值：2^{n-1} - 1（如 8 位补码的最大值是 127）。

2. 补码的计算方法

(1) 正数的补码

正数的补码就是它的原码（直接二进制表示）：

  • 示例：+5 的 8 位补码：
    • 原码：00000101
    • 补码：00000101（与正数原码相同）

(2) 负数的补码

负数的补码计算步骤如下：

  1. 取绝对值的原码（先当作正数）。
  2. 按位取反（反码）（0 变 1，1 变 0）。
  3. 加 1（得到补码）。

示例：求 -5 的 8 位补码：

  1. +5 的原码：00000101
  2. 按位取反（反码）：11111010
  3. 加 1：11111011（最终补码）

验证：-5 的补码确实是 11111011。

(3) 零的补码

  • 零的补码是全 0：00000000（唯一表示）。
  • 补码没有 -0，避免了原码和反码的“零不唯一”问题。

3. 补码的运算规则

补码的核心优势是减法可以转换为加法，无需额外硬件处理符号位。

(1) 加法运算

直接按位相加，丢弃最高位的进位（溢出位）。

  • 示例：7 + (-5)（即 7 - 5）
    • 7 的补码：00000111
    • -5 的补码：11111011
    • 相加：
        00000111
+ 11111011
---------
 1 00000010 （最高位 1 溢出丢弃）
    • 结果：00000010（即 2，正确）

(2) 减法运算

A - B 可以转换为 A + (-B)，其中 -B 是 B 的补码。

  • 示例：3 - 7（即 3 + (-7)）
    • 3 的补码：00000011
    • -7 的补码：
      1. 7 的原码：00000111
      2. 反码：11111000
      3. 补码：11111001
    • 相加：
        00000011
+ 11111001
---------
  11111100
    • 结果 11111100 是负数，转换回十进制：
      1. 补码 11111100 → 反码 11111011
      2. 反码 11111011 → 原码 00000100（4）
      3. 所以 11111100 = -4（正确）

4. 补码的数学本质

补码的本质是模运算（Modular Arithmetic）：

  • 对于 n 位补码，所有运算都在 2^n 的模数下进行。
  • 负数 -x 被表示为 2^n - x。
    • 示例（8 位）：
      • -5 ≡ 256 - 5 = 251（即 11111011）。
      • -128 ≡ 256 - 128 = 128（即 10000000）。

这样，A - B 等价于 A + (2^n - B)，运算结果自动取模，保证正确性。

补码的魅力值得细细品味，以钟表为例说明：

假设目前的目前时针指向9，忽略分针和秒针。 如果我们要时针指向6，那么有两种办法

  1. 逆时针转动3格（-3）
  2. 顺时针转动9格（+9）
    同时我们发现3+9=12，这是因为时针有12个刻度（模）。在这种情况下，可以把9看作是-3的补码。
    回到一个八位的二进制数，它的模是2^8也就是256.
    那么-1 就是256-1 =255( 11111110)， -128 就是256-128=128(10000000)

同时神奇地发现，刚好负数的最高位是1，这个最高位可以直接参与加法运算。我认为这是二进制的特性带来的，如果不是二进制，则负数的补码最高位会出现多个可能。

再回到负数的补码计算方式：

  1. 取绝对值的原码（先当作正数）。
  2. 按位取反（反码）（0 变 1，1 变 0）。
  3. 加 1（得到补码）。

为什么负数的补码=反码+1呢？
根据前文已知：负数的补码=模（2^n) -负数的绝对值
根据反码的定义：负数的反码 + 负数绝对值的原码 =2^n-1 (111...111(n个1))
+10 的原码 = 00001010
-10 的反码 = 11110101
相加后 = 11111111

调整一下等式得到：
负数的反码+1 = 2^n(模)-负数绝对值的原码
所以负数的补码=负数的反码+1

 ---

5. 补码的优势

特性 补码（Two's Complement） 原码（Sign-Magnitude） 反码（Ones' Complement）
零的表示 唯一（000…00） 两种（+0 和 -0） 两种（+0 和 -0）
减法运算 直接加法，丢弃溢出位 需额外符号判断 需循环进位
硬件实现 仅需加法器 需加减法两套电路 需额外进位处理
负数范围 -2^{n-1} 到 2^{n-1}-1 -(2^{n-1}-1) 到 2^{n-1}-1 -(2^{n-1}-1) 到 2^{n-1}-1
现代应用 所有计算机系统 已淘汰 仅用于校验和

现代计算机普遍采用补码来存储和运算有符号整数

6. 补码（Two's Complement）转换为十进制的方法

补码的最高位（MSB）是符号位：

  • 0 表示 正数或零，直接按无符号二进制计算。
  • 1 表示 负数，需要先取补码再转换。

1. 正数补码 → 十进制

规则：直接按无符号二进制计算。
示例：
补码 0101 0101（8位）：

  1. 最高位 0 → 正数。
  2. 计算：

    结果：+85

2. 负数补码 → 十进制

步骤：

  1. 取反（Invert）：所有位取反（0→1，1→0）。
  2. 加 1：得到原码的绝对值。
  3. 加负号：转换为负数。

**示例 **：
补码 1101 1011（8位）：

  1. 最高位 1 → 负数。
  2. 取反：1101 1011 → 0010 0100。
  3. 加 1：0010 0100 + 1 = 0010 0101（绝对值 37）。
  4. 加负号：-37。
    结果：-37

7. 常见问题

(1) 为什么补码的最小值是 -128（8 位时）？

  • 8 位补码的范围是 -128 到 127。
  • 10000000 被解释为 -128（因为 -128 = -2^7），没有对应的正数表示。

(2) 如何快速求一个负数的补码？

  1. 从右向左找到第一个 1，保留这个 1 及其右侧的所有位。
  2. 左侧所有位取反。
    • 示例：-5 = 11111011（第一个 1 在最右边，左侧全取反）。

(3) 补码的溢出如何处理？

  • 如果运算结果超出 n 位补码的范围，最高位进位直接丢弃（相当于取模 2^n）。
  • 示例（8 位）：
    • 127 + 1 = 128（超出范围，补码表示为 -128，即溢出）。

三、整数的存储方式

  • 小端序（Little-Endian）：低字节在前（Intel/AMD x86 架构）。
  • 大端序（Big-Endian）：高字节在前（网络传输、ARM 可选模式）。

示例（32 位整数 0x12345678 的存储）：

字节地址 小端序存储 大端序存储
0x0000 0x78 0x12
0x0001 0x56 0x34
0x0002 0x34 0x56
0x0003 0x12 0x78
posted @ 2025-03-25 23:52  Panpan03  阅读(143)  评论(0)    收藏  举报