wqs 二分

这个东西稍微有点神秘的。

这个东西的应用场景一般是，你有一个 DP，然后这个 DP 值关于某一维是凸的，通常这一维的含义都是使用了多少个元素。

然后因为最终这个东西是一个凸函数，并且我们只需要其中一个地方的值，那我们把所有值全都计算出来显然是浪费的。我们的另一个想法就是用一个斜率的直线去切这个凸包，如果我们可以求出这个直线跟这个凸包的交点，我们去比较这个交点到底在目标位置的哪侧，然后相应调整我们的斜率去逼近这个位置，直到我们真正到达这个目标点为止。

然后因为这个维度通常都是多少个元素，所以我们可以给每个元素带一个额外代价，然后 DP 一次就行了。为了知道这个交点的位置，我们通常维护在取到最大值的同时，最少用几个元素。当然，最好还是最少最多都维护一下。

当然，这里会出现一个问题。因为凸包上可以有斜率相同的若干个点连到一起，这时如果你的斜率也是这个值，你到底交到哪个位置？所以我们有两种处理手段，一种是维护最小最大值，然后当它们包住询问位置的时候计算答案。另一种是只维护最小值，然后如果它比较小尝试变大，否则只能变小。然后也是二分一个最接近的位置出来，显然这个就是答案。

其实上面的这个思考过程有一个不连续的部分，就是凭啥你一看到一个凸函数单点求值上来直接就是二分斜率。而且说实在的，你能快速求出这个斜率的切点是很奇怪的一件事，如果不是见过了，很难往这个方向去想。

然后这里还有一个问题，就是构造方案。因为可能有共线情况，所以你固然能求出来一个方案，但是这个方案往往是最小/最大对应的方案，你想求一个恰好的方案是困难的。一个做法是微扰，强行让它们不共线。但是这个一看就比较玄学。

哦有一个人说了一个构造方法，还挺对的。link。

就是我们在内层 DP 的时候，对每个前缀位置，同时维护达到这个最小值需要的 \(mn/mx\)，然后构造方案的话，我们就找上一个满足 \(X-1\in [mn_j,mx_j]\) 的位置就可以构造出来了。

那这样的话，只维护最小值应该也有类似做法，我们找最大的一个满足 \(X-1\ge mn_j\) 的 \(j\) 就行了。

但问题是，有一类内层问题并不需要 DP 解决，这时怎么办呢？这个是不是得具体分析一下啥的。

还有一点没说透的地方。