李超树

这里并不想写那些基础的部分。这部分只提一句，就是李超树所维护的函数当然不止是一次函数，事实上，所有满足如下性质的函数它都能维护

• 对于任意两个函数族中的函数 \(f,g\) 最多只能有一个交点。或者说，一旦其中一个“超过”另外一个，那么接下来这个相对大小关系一直保持。

• 可以快速单点求值。并且给定一个位置和两个函数，可以快速知道交点在这个位置的哪边。

Extended Lichao Tree

它可以解决这样的问题

• \(\forall i\in[l,r],A_i\leftarrow\max(A_i,ai+b)\)。

• \(\forall i\in[l,r],A_i\leftarrow A_i+ai+b\)。

• 单点查询。

如果只有 1，3 操作，那么显然李超树是可以解决的。加入 2 操作之后，我们有一个打标记上去的冲动，这是因为一次函数相加仍然是一次函数，有很好的封闭性。

问题是，比这个标记更高的位置我们无法影响到。比方说我们加了 \([2,n-1]\)，然后又插入了 \([1,n]\) 的直线，在插入时我们没办法取得之前的信息，所以就爆炸了。

为了让这个标记影响到更高的位置，我们需要把它们都给干掉。具体来说，pushdown 下来就行了。

然后我们就可以打标记了，打标记就是普通打标记，包括下传什么的都是平凡的。

它还可以解决

• \(\forall i\in[l,r],A_i\leftarrow\max(A_i,ai+b)\)。

• \(\forall i\in[l,r],A_i\leftarrow A_i+b\)。

• \(\max_{i\in[l,r]}A_i\)。

只有操作 1 3，我们考虑每个节点额外维护一个 \(mx\)。或者说我们本来就是维护 \(mx\)，而把直线当作标记来维护。下传标记时，如果此处已经有一个标记，我们事实上只需要往其中一个方向传递，这就保证了下传标记复杂度的正确性。

事实上是不是这才应该是李超树的正确理解方式，我们把直线当成标记，这样这两个所谓的扩展的做法其实都是显然的。