十二重计数法

看看我会几个。

\(n\) 个球装进 \(m\) 个盒子。

Ⅰ

球不同，盒子不同。

每个球考虑自己放到哪个盒子里头，\(m^n\)。

魔怔做法就是考虑一个盒子的 EGF 是 \(e^x\)。

所以 \(m\) 个盒子就是 \(n![x^n]e^{mx}=n![x^n]\sum_i\frac{(mx)^i}{i!}=m^n\)。

Ⅱ

球不同，盒子不同，每个盒子至多一个球。

先选出 \(n\) 个盒子来装球，然后把球装进去。\(\binom{m}{n}n!=\frac{m!}{(m-n)!}\)。

GF 做法就是，还是考虑一个盒子 EGF 是 \(1+x\)，然后 \(m\) 个盒子就是 \((1+x)^m\)。

答案就是 \(n^m=n!\binom{m}{n}\)。

Ⅲ

球不同，盒子不同，每个盒子至少一个球。

考虑容斥，\(f_m\) 为恰好装 \(m\) 个盒子，\(g_m\) 为至多装 \(m\) 盒子。

那么显然有 \(g_i=\sum_{x=0}^i\binom{i}{x}f_x\)，反演得到 \(f_i=\sum_{x=0}^i(-1)^{i-x}\binom{i}{x}g_x\)，而 \(g_x=x^n\)。

GF 做法就是，一个盒子 EGF 是 \(e^x-1\)，\(m\) 盒子是 \((e^x-1)^m\)。

答案是 \(n^m=n![x^n]\sum_{i=0}^m\binom{m}{i}(-1)^{m-i}e^{xi}=\sum_{i=0}^m(-1)^{m-i}\binom{m}{i}i^n\)。

然后其实我们都知道，这是 \(m!{n\brace m}\)。

Ⅳ

球不同，盒子相同。

我们考虑枚举真正使用了几个盒子，这是因为，没有被使用的盒子是完全等价的，而一旦被使用之后，它就和别的盒子截然不同。

我们知道，如果真正使用了 \(x\) 个盒子，答案是 \({n\brace x}\)，所以答案就是 \(\sum_{i=0}^m{n\brace i}\)。

使用 GF 也是类似的手段。