Matrix-tree 定理

Matrix-tree 定理

我们来简单证明一下这个东西。

考虑有向图版本，我们要求以 \(rt\) 为根，求内向生成树的个数。

考虑为什么我们不能给其他的点随便钦定一个出边，这是因为我们有可能连出来一个环，而环是坏的。

直观的想法就是钦定一些环出来，每个环带上 \(-1\) 的系数。

考虑枚举一个排列，如果 \(p_i=i\) 说明我们让 \(i\) 随便连，否则限制 \(i\to p_i\)。

这部分系数应该是 \((-1)^{\#\text{cycle}}\)，而我们知道，\((-1)^{\#\text{inv}(p)}=(-1)^{\#\text{even cycle}}\)，所以 \((-1)^{\#\text{cycle}}=(-1)^{\#\text{inv}(p)}\times(-1)^{\#\text{odd cycle}}\)，这里要求奇环大小 \(\ge 3\)，所以这个东西其实就是 \((-1)^{n-\#\text{single point}}\)。

我们考虑把这个东西写成矩阵行列式的形式，记邻接矩阵是 \(A\)，出度矩阵是 \(O\)，那答案就是 \(\text{det}(O-A)\)，当然，这里的矩阵指的是去掉 \(rt\)。

外向生成树是类似的，无向图可以认为是钦定一个点是根，然后做一个内向生成树。

BEST 定理

对于一张有向欧拉图 \(G\)，它的欧拉回路个数就是，任取一个 \(k\)，

\[t^{root}(G,k)\prod_v (deg_v-1) \]

因为对于有向欧拉图 \(indeg_v=outdeg_v\)，所以这里的 \(deg\) 看成任意一个都可以。

这个东西的组合意义，就是你考虑选一个点作为根，然后先对每个其他的点选出来最后一条往回走的边，剩下的边顺序任意确定即可。

但是注意，这个根 \(k\) 的选择不是 \(deg_k\) 而是 \(deg_k-1\)，因为第一个选择对应相同的欧拉回路。

同时这暗示对于任意的 \(k\)，\(t^{root}(G,k)\) 都相等。

证明我不会啊，之后再说。

应用

事实上，我们上面的东西计算的是 \(\sum_T\prod_{(u,v)\in T}w_{(u,v)}\)，而 \(w_{(u,v)}\) 可以是一些多项式，就会有一些应用。