Barrett 约减

这东西原理我并不清楚啊。

大概意思就是说，因为除法很慢，所以我们想个办法优化除法。

\[\frac xm=\frac x{2^k}\times\frac{2^k}m\approx\frac{x\lfloor\dfrac{2^k}{m}\rfloor}{2^k} \]

我们提前计算 \(\lfloor\frac{2^k}m\rfloor\)（似乎这里应该是上取整），这样，计算除法就只需要一次乘法和一次右移操作。

当然这样可能有误差，如果我们记 \(x\) 的上界是 \(n\)，那么当 \(2^k>n(m-1)\) 的时候是没有误差的，当 \(2^k>n\) 可能产生 \(1\) 的误差，对应到取模上就是 \(m\) 的误差。

所以我们最后还要重新真的取模一次。

代码如下：

int modm,modp;
void init(int p){
    modm = (__int128(1) << 64) / p,modp = p;
}
inline ll mod(ll x){
    return x - ((__int128(x) * modm) >> 64) * modp;
}

实践发现，加了 barrett 约减的输入模数取模，在开 O2 的情况下跟固定模数基本一样快（前者 1581，后者 1753），不开 O2 barrett 慢一些（前者 4215，后者 3666）。本机测试 ARC114 C。