支配树

唉唉唉，noi 前不应该学新东西了，但是今天做的题里头有关于支配树的内容，还是简单看看吧。

支配关系

支配关系是定义在有向图上的二元关系，并且需要指定一个点 \(s\) 作为起始节点。

我们称 \(u\) 支配 \(v\)，当且仅当，所有从 \(s\to v\) 的路径，都必须经过 \(u\)。

简单分析一下支配关系的性质。

• \(s,u\) 都支配 \(u\)。

这是显然的。

• 如果 \(u\) 支配 \(v\)，\(v\) 支配 \(w\)，那么 \(u\) 也支配 \(w\)。

证明考虑取一条 \(s\to w\) 的路径，那么这个路径上会出现 \(v\)，也就是有一个 \(s\to v\) 的路径，那么这个路径上会出现 \(u\)。

• 如果 \(u\) 支配 \(v\)，\(v\) 支配 \(u\)，那么 \(u=v\)。

证明考虑取一条 \(s\to v\) 的路径，那么这个路径上会出现 \(u\)，也就是有 \(s\to u\) 的路径，那就又会出现 \(v\)。这个过程显然不能无限进行下去。

• 如果 \(u\) 支配 \(w\)，\(v\) 支配 \(w\)，那么 \(u\) 支配 \(v\) 或者 \(v\) 支配 \(u\)。

考虑取 \(s\to w\) 的路径，显然这个路径上存在点 \(u\) 也存在点 \(v\)，不妨假设 \(u\) 在 \(v\) 前面出现。\(s\to u\to v\to w\)。

假设 \(u,v\) 之间不存在支配关系，也就是说，存在一条 \(s\to v\) 而不经过 \(u\) 的路径，那么我们进行一个替换，就说明 \(u\) 并不支配 \(w\)。

这是最重要的性质，有了这个性质，我们就能导出支配树了。

支配树

定义一个点的支配点集 \(dom(u)\) 为能够支配它的点的集合。考虑如何求解支配点集。记 \(pre_u\) 表示 \(u\) 的前驱。

\[dom(u)=\{u\}\cup\big(\bigcap_{v\in pre(u)}dom(v)) \]

我们定义一个点的直接支配点 \(idom(u)\)，为它的支配点集当中，除了 \(s\) 以外，离它最近的。

由支配关系的最后一条性质，我们知道，\(dom(u)=\{v_1,v_2,\dots,v_k\}\) 是可以排序的，也就是说存在路径 \(s\to v_1\to v_2\to\dots\to v_k\to u\)，此时显然 \(idom(u)=v_k\)。

把直接支配点当成父亲，生成的树就叫做支配树。

为了求解支配树，接下来我们先看在 DAG 上的例子。

DAG 上的特例

由 \(dom(u)\) 的式子，我们知道可以按照 topo 序依次求解直接支配点，这事实上是它的前驱的 lca。

使用可以动态加叶子的 lca 算法，比如倍增即可。

半支配点

不懂了，好复杂啊，有必要再学吧。