竞赛图

绪论

\(n\) 个点的竞赛图就是把完全图进行定向得到的结果。显然从中任选点集得到的导出子图仍然是竞赛图，这是非常好的性质，稍后我们会看到这一点。

定理 1：竞赛图进行强连通分量缩点之后，得到的 DAG 是一条链，每个点向之后的所有点连边。

竞赛图缩点之后，得到的图仍然是一张竞赛图，这次这张竞赛图里没有环。考虑归纳法，假设现在有 \(n\) 个点形成的一个链了，接下来又加入了新的一个点，考察它跟这 \(n\) 个点边的方向，显然应该是先朝向它，再从它连出，否则会形成环。然后我们就可以找到唯一合适的位置插入到链当中。

这同时说明，没有环的竞赛图存在一种“实力”标号方式，使得实力大的人总是获胜。

这定理事实上介绍了竞赛图的结构，后面许多定理的证明都基于它。

定理 2：一张非平凡竞赛图是强连通的，等价于它存在一条哈密顿回路。

必要性显然。

充分性仍然考虑归纳法，你现在有 \(n\) 个点形成的一个回路（环），考虑加入一个新的点。考察它的连边方向，因为不能全部相同（否则就不强连通了），所以一定存在改变的位置，从这里插入到环中就可以了。

结合定理一，我们知道竞赛图的每个强连通分量都存在哈密顿回路。

定理 3：竞赛图存在哈密顿路径。

由定理 1，我们知道，这个哈密顿路径肯定是依次经过每个强连通分量中的所有点。

我们取不在同一强连通分量的两个点 \(u,v\)，不妨假设 \(u\) 所属的强连通分量在前面。显然，只能有 \(u\to v\) 的连边。

我们从前面强连通分量的终点，走到下一个强连通分量中任意一个点，然后继续断环成链就可以了。

如果给条件能够解决每个强连通分量内部的哈密顿回路问题，那么我们就可以给竞赛图做哈密顿路径计数了。但是似乎并没什么办法解决这个。

定理 4：如果 \(outdeg_u>outdeg_v\)，那么存在 \(u\) 到 \(v\) 的路径。

如果在同一个分量已经证毕。

否则考虑 \(u\) 的边，它会向后所有连边，同一个分量的不好说，向前的不能连。

所以说明 \(u\) 在 \(v\) 前头，所以存在路径。

定理 5：记 \(u\) 是竞赛图中出度最大的节点，那么它到任意点距离 \(\le 2\)。

反证，考虑一个点 \(v\)，满足 \(dis(u,v)\ge 3\)，取集合 \(S=\{v\mid dis(u,v)\le 1\}\)，显然不能存在 \(S\to v\) 的点，那么就有 \(v\to S\) 的点，这就导致 \(v\) 的出度比 \(u\) 大。

这定理不知道有没有用，但是证明方法很有意思。

定理 6：一张非平凡的强连通竞赛图，对于每个顶点 \(u\)，都存在包含 \(u\) 的三元环。

考虑把 \(V/u\) 按照跟 \(u\) 的连边方向划分为 \(In(u),Out(u)\)，显然 \(In(u)\cup Out(u)=V/u,In(u)\cap Out(u)=\varnothing\)。

如果只存在 \(In(u)\to Out(u)\)，那么这个图就不是强连通了。所以存在 \(Out(u)\to In(u)\)，也就是一个三元环。

定理 7：一张非平凡的强连通竞赛图，对于每个顶点 \(u\)，都存在包含 \(u\) 的 \([3,n]\) 元环。

先找到一个三元环，然后使用类似于定理 2 的方式一个个加入进来。

定理 8（兰道定理）：记 \(s_i\) 为出度序列排序后的结果。那么存在一个竞赛图的出度序列是 \(s_i\)，等价于 \(\forall k,\sum_{i=1}^ks_i\ge\binom{k}{2}\)，并且 \(k=n\) 时取到等号。

必要性显然。

充分性我们给出一个不断调整的构造性证明。

考虑初始构造一个简单的，出度序列是 \(t=(0,1,\dots,n-1)\) 的图。我们在构造的过程中始终保持 \(\forall k,\sum_{i=1}^kt_i\le\sum_{i=1}^ks_i\)。

考察第一个 \(s_u\neq t_u\) 的 \(u\)，显然应该是 \(t_u<s_u\)，为了保持 \(s,t\) 的有序性，我们不能直接考虑魔改 \(t_u\)，而应该找到最后一个满足 \(t_u=t_v\) 的 \(v\)，显然此时仍然有 \(t_v<s_v\)，考虑调整使得 \(t_v\leftarrow t_v+1\)，显然我们需要在后面找一个冤大头过来。

取第一个 \(w>v\) 满足 \(t_w>s_w\)，这位置显然存在，因为 \(\sum t_i=\sum s_i\)。

那么有 \(t_w>s_w\ge s_v>t_v\)，也就是说 \(t_w\ge t_v+2\)。

如果存在边 \(w\to v\)，那么我们直接反向，就可以起到 \(t_v\leftarrow t_v+1,t_w\leftarrow t_w-1\)。

如果不存在，那么一定存在点 \(p\) 满足存在边 \(w\to p,p\to v\)，因为只有这种模式能让 \(t_w-t_v\) 增大。我们把这两条边同时取反，可以起到同样的效果。

这样不断调整，我们就给出了一个构造。

定理 9：出度序列排序后，可以被分割为若干个区间，每个区间按顺序对应于一个缩点后的强连通分量。并且这些区间的右端点恰好是 \(\sum_{i=1}^ks_i=\binom{k}{2}\) 的位置。

如果 \(k\) 位置取到了等号，这说明前 \(k\) 个点内部“独立”，不存在前 \(k\) 的点向后的连边，就说明它是一个右端点。

并且显然，每个右端点都满足这个条件。