二项式系数

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这东西的严格定义应该是 \(\dbinom{x}{k}=\begin{cases}\dfrac{x^{\underline{k}}}{k!}&,k\ge 0\\0&,k<0\end{cases}\)，其中要求 \(x\in R,k\in N\)。\(x^{\underline{k}}=x(x-1)\dots(x-k+1)\)，特别地，\(0^{\underline{0}}=1\)。

下面我们的讨论都基于这个定义。

基本公式

注意所有式子都有成立条件，这些成立条件不一定是显然的。我们默认 \(x\in R,k\in N\)。

\[\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},n\in N,n\ge k\ge 0 \]

这个成立条件特别容易出错，注意一下。

\[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},n\in N \]

注意这个要求 \(n\ge 0\)，你可以想象到，当 \(n<0\) 时，会乘上一些 \(-1\)。

\[\binom{x}{k}=\dfrac{x}{k}\binom{x-1}{k-1},k\neq 0 \]

\[k\binom{x}{k}=x\binom{x-1}{k-1} \]

\[\binom{x}{k}=\binom{x-1}{k}+\binom{x-1}{k-1} \]

\[\binom{x}{k}=(-1)^k\binom{k-x-1}{k} \]

\[\binom{r}{m}\binom{m}{k}=\binom{r}{k}\binom{r-k}{m-k} \]

\[\sum_{k}\binom{r}{k}x^ky^{r-k}=(x+y)^r,r\in N 或者 |\frac{x}{y}<1| \]

\[ \]