网络流
网络流
带权有向图 \(G=(V,E)\)，有两个特殊的点 \(s,t\)，权 \(c(u,v)\) 称为流量上限。
定义这个图上的一个流为 \(f(u,v)\)，其中满足两条限制：
-
\(\forall u\neq s,u\neq t,\sum_v f(u,v)=\sum_v f(v,u)\)。
-
\(f(u,v)\le c(u,v)\)。
定义这个流的大小 \(|f|=\sum_v f(s,v)-\sum_v f(v,s)=\sum_v f(v,t)-\sum_v f(t,v)\)。第二个等号可以通过对剩余的所有点叠加流量平衡限制来得到。
因为我们后面要引入反向边，所以我们可以假设这张图是没有“反平行边”的。具体来说，假设有反平行边，我们可以通过在其中一条边的中间插入一个点，来得到一个等价的图。
事实上，实践中我们往往没有这么做，而是直接加入重边。在后面的证明过程中，把重边直接揉到一起应该也能做。
接下来我们对这个图上的一个流 \(f\)，定义剩余流量：
残量网络定义为 \(G_f=(V,E_f),E_f=\{(u,v)|c_f(u,v)>0\}\)。
这个东西事实上就是引入了反向边，我们在原图上一条边流过一个流量，在减小容量限制的同时还要给反向边增加一个容量。
有的时候，我们也会说流具有反对称性，也就是说 \(f(u,v)=-f(v,u)\)，这样可以简化一些式子，但是终归有些不严谨。
定义一个割是集合的二元组 \((S,T)\)，其中 \(s\in S,t\in T,S\cup T=V,S\cap T=\emptyset\)。
定义这个割的大小 \(||(S,T)||=\sum_{s\in S}\sum_{t\in T}c(s,t)\)。
横跨切割的净流量是 \(f(S,T)=\sum_{s\in S}\sum_{t\in T}f(s,t)-f(t,s)\)。
给出一个流 \(f\) 和一个割 \((S,T)\)，我们有 \(|f|=f(S,T)\)。
同时，我们有 \(||S,T||\ge f(S,T)\)。
可以看到，两个等号成立的条件分别是返回来的边都要是空的，以及所有正着的边必须是满流的。
下面阐述一个重要的定理（最大流最小割定理）。
下述陈述等价：
-
\(f\) 是 \(G\) 的最大流。
-
\(G_f\) 中没有增广路。
-
\(|f|=c(S,T)\)。
\(1\rightarrow2\)：假设存在增广路，那我们增广可以得到更大的一个流。
\(2\rightarrow3\)：我们不妨令 \(S\) 是 \(G_f\) 中源点可以到达的点的集合，\(T=V-S\)。那你考虑一对点 \((u,v),u\in S,v\in T\)，如果 \((u,v)\in E\)，那么有 \(f(u,v)=c(u,v)\)，否则 \(v\) 就会在 \(S\) 中。如果 \((v,u)\in E\)，那么有 \(f(v,u)=0\)，那也就是说我们证明了上面两个取等条件。
\(3\rightarrow1\)：因为所有的割比所有的流都要大，如果一个流跟一个割相等，那这个流一定是最大的。
Dinic
这里就写一点注意事项。
使用当前弧优化的时候，不要跳过没有流满的边。实践中，不可以写成 for (int &i = cur[u];i;i = e[i].nxt)，因为如果这一条边没有流满，也会被跳过，会导致 TLE。
复杂度证明分为两部分：分层次数为 \(O(n)\)，单次分层后增广复杂度为 \(O(nm)\)。
我们先说后面一部分。对于每条成功的增广路而言，我们至少会把一条边的剩余流量搞到 0，并且这条增广路长度至多是 \(n\)，并且由于我们分了层，所以加入的反向边不会被增广。
对于那些没有成功增广的部分，我们记最后一条边的集合是 \(E_2\)，这样的边也最多有 \(m\) 条。
总之这部分是 \(O(nm)\)。
前面一部分，我不太会，有兴趣去看吧。
https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/network_flow_bipartite_graph_and_graph_matching.html
https://oi-wiki.org/graph/flow/max-flow/
费用流
SSP 算法，有基于 EK 和 Dinic 两种写法。
听说有 “最大流不卡 Dinic，费用流不卡 EK” 的说法。
正确性证明：
对于两个流量相等的 \(f,f'\) 而言，若 \(|f|>|f'|\)，那么我们知道 \(f-f'\) 至少有一个正流负环。这是充要条件。
我们考虑归纳证明。假设对于流量为 \(i\) 的流，这个算法求出了最优解 \(f\)，并且残量网络上没有负环。考虑下一次它求出了 \(f'\)，但最优解是 \(f''\)，那我们就知道 \(f''-f'\) 上有正流负环，那就说明 \(G_f\) 中有负环，那就爆了。
所以根据归纳法，只要初始残量网络上没有负环，那么这个算法就能给出正确答案。
upd
我们来尝试找出这些最大流算法的共同点，并加以证明。
倘若在最短路分层图上，没有增广路，那么在原图上也没有增广路。
这个过于显然了。
无环的 \(s-t\) 流可以看成是一堆 \(s-t\) 的路径的和。
我们考虑对边数进行归纳。考虑找到任意一条 \(s-t\) 的路径，这样的路径一定存在。然后我们选择这路径上流量最小的点，减一下，这样至少会少一条边，并且还是一个无环的 \(s-t\) 流，我们拆出一堆路径，并上新找出来的即可。
一次增广最短路过后，残量网络上 \(s\) 到任意点的最短路不下降。
我们考虑反证法。你假设是 \(G+f=G'\)，\(s\to x\) 的最短路下降了。你把这个在 \(G'\) 上的路径设出来，比方说是 \(p_1=s\to p_2\to\dots\to p_n=x\)。这中间每一条边，要么是 \(G\) 上的边，要么是 \(f\) 的反边。为了方便起见，我们这里直接把第一个 \(dis'_x<dis_x\) 的 \(x\) 当成我们的 \(x\)，上一个点叫做 \(y\)，满足 \(dis'_y\ge dis_y,dis'_y+1=dis'_x\)。
你考虑 \((y,x)\) 这条边，它一定不会是 \(G\) 上的边，那就只能是来自于 \(f\) 的反边，那就说明 \(dis_x+1=dis_y\)，那么 \(dis'_y+1=dis'_x<dis_x=dis_y-1\)，这显然矛盾。
我最开始想的也是分讨这条边是不是原图上的，但是没有想到取出第一个 \(x\) 出来。这样确实简单了很多，我们只用考虑一条边的情况。
EK 算法的增广次数是 \(O(nm)\) 的。
一次增广，至少会有一条边 \((u,v)\) 从残量网络中删除。考虑这条边下一次出现是怎么回事，一定是 \((v,u)\) 这条边被增广了。那我们有 \(dis_v=dis_u+1,dis'_u=dis'_v+1\)，而 \(dis'_u\ge dis_u,dis'_v\ge dis_v\)，所以 \(dis'_u=dis'_v+1\ge dis_v+1\ge dis_u+2\)，那这样一条边最多会被作为关键边 \(O(n)\) 次，所以总增广次数是 \(O(nm)\)。
Dinic 算法当中，每次增广 \(s\to t\) 最短路长度增加。
我们考虑流 \(f+\Delta f=f'\)，以及在 \(G_f,G_{f'}\) 上的最短路分别是 \(dis,dis'\)，考虑一条在 \(G_{f'}\) 上的最短路 \(s=p_0\to p_1\to\dots\to p_k=t\)，那么我们知道 \(dis'(p_i)=i\)，还有 \(dis(p_k)=dis'(p_k)=k\)。
如果，\(dis(p_i)=i\) 都成立，那么这条路是 \(G_f\) 上一条增广路，直接就被干掉了。
我们找到第一个 \(i\) 使得 \(dis(p_i)<i\)，又因为 \(dis(p_k)=k\)，如果 \(dis(p_i)+1\ge dis(p_{i+1})\) 恒成立，那么这肯定不行。所以你能找到一个 \(p_x\)，\(dis(p_x)+1<dis(p_{x+1})\)，这就说明 \((p_x,p_{x+1})\) 不在 \(G_f\) 上。
那就说明 \((p_{x+1},p_x)\) 被增广了，这就说明 \(dis(p_{x+1})+1=dis(p_x)<dis(p_{x+1})-1\) 矛盾。
事实上，每次增广之后，所有与 \(s\) 连通的点，最短路长度都会增加。
对于单位网络，Dinic 的增广次数是 \(O(\sqrt{m})\) 的。
你考虑前 \(\sqrt{m}\) 之后的某一次增广，这时最短路长度一定 \(\ge \sqrt{m}\)，那就说明我们对残量网络分层，一定有一层边数不到 \(\sqrt{m}\)，那么我们直接把这些边割掉，这是个割，所以残量网络的最大流不超过 \(\sqrt{m}\)，所以增广次数不超过 \(O(\sqrt{m})\)。
同样的，我们还可以证明增广次数是 \(O(n^{\frac 23})\) 的。
你考虑前 \(2n^{\frac 23}\) 之后某一次增广，分层后，至多有 \(n^{\frac 23}\) 个 \(>n^{\frac 13}\) 的层，所以一定会有两个 \(\le n^{\frac 13}\) 的层相邻，把这两层之间的所有边都割掉就可以了。
对于除了 \(s,t\) 以外每个点都满足 \(indeg(u)=1/outdeg(u)=1\) 的图，增广次数是 \(O(\sqrt{n})\)。
你考虑前 \(\sqrt{n}\) 次之后某一次增广，这时一定能找到一个 \(\le \sqrt{n}\) 的层，你考虑割掉所有这种 \(deg=1\) 的那条边，这是一个割。
另外，这上面的任意流总能分割成若干单位流量、点不交的增广路。
费用流每次增广过后，每个点的最短路不会增加。
这个可以考虑使用 EK 的类似的证明方法。
这个其实说明了费用关于流量是一个凸函数。
上下界网络流
无源汇可行流。
我们先强制所有边都流一个下界，然后对于每一个点，考虑它现在是需要流入还是流出。新建超级源汇，如果需要流入，那就从超级源引一条边。流出类似。然后跑最大流，看看超级源汇连的边是不是满流。
显然新图可以转化回原图，原图也可以转化过来。
有源汇可行流。
我们从源向汇、从汇向源连 \([0,INF]\) 的边转化回去。
有源汇最大流。
我们先求出一个可行流，然后在残量网络上增广。
有源汇最小流。
先求出一个可行流，然后从 \(T\to S\) 跑最大流，退流。
有源汇费用流。
这东西真能跑？
有负环的费用流。
我们先强制所有负权边流满，然后给出一个退流选项，同时类似于上下界的建图方式，我们新建源汇点，然后相应连边。然后跑上下界有源汇费用流。
至此，我们的科技算是点完了。
一些定理
Hall 定理：一张二分图的最大匹配，等于 \(n+\min(n(S)-S)\)。
这个相当于一个最小割，我们枚举左部点哪些选哪些不选，然后对应到右部点上就是 \(s(S)\)。
推论：正则二分图存在完美匹配拆分。
这个听说有一个随机化的 \(O(n(d+\log n))\) 的算法，就是匈牙利算法，每次随机选一条出边，如果成了环，那么就把整个环删掉，回到上一个节点，继续跑。
同时，如果 \(d=2^k\)，我们有一个做法。跑无向图欧拉回路，然后这个时候每个点的出度入度都是 \(\frac d2\)，按照边的方向，分成两张图，递归下去。这个复杂度是 \(O(ndk)\)。
事实上，遇到奇数，可以跑上面的随机化算法，让 \(d\leftarrow d-1\)，然后再递归。
Dilworth 定理：DAG 最小可重链覆盖等于最长反链。
不知道这个有什么用。
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