闵可夫斯基和

闵可夫斯基和

两个二维欧几里得空间上的点集 \(A,B\) 的闵可夫斯基和定义为：

\[A+B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\} \]

你可以看成是把 \(B\) 中元素视为向量，然后把 \(A\) 中元素平移。当然，反过来也一样。

下面阐述一个重要的定理，我们记 \(cov(A)\) 表示 \(A\) 的凸包，那么：

\[cov(C)\subseteq cov(A)+cov(B) \]

证明的话，你不妨假设 \(a\not\in cov(A)\)，我们证明 \(a+b\not\in cov(C)\)。

这是简单的，你考虑前者说明 \(a\) 被 \(cov(A)\) 所包围，而我们把这个凸包整个平移向量 \(b\) 之后，\(a+b\) 肯定也被包围着，不会成为凸包上的点。

接下来我们阐述求这个东西的方法，受个人水平所限，我们所说的方法针对于上凸壳，针对凸包的话似乎可以按极角归并排序。

对于凸壳而言，我们可以把它表示成一个函数的样子，又由于我们研究的凸壳一般都是整数坐标，所以我们可以用离散的数组来表示这个凸壳。比方说 \(f_i,g_i\)。

考虑在这种表示方式下，闵可夫斯基和是什么样子。你发现这个就是 max+ 卷积。

由于这是凸的，所以差分数组是单调的，我们求卷积相当于在差分数组中选一共 i 个数加起来求最大值，这个就是归并排序对吧。

回到原来的表示形式，我们也可以把斜率归并排序，就做完了。

应用

由于我并不学计算几何，所以讲的大多都是与 wqs 二分结合。

我们直接上最强版题面吧。

给你 \(n\) 个数，以及 \(q\) 次询问区间 \([l,r]\) 中恰好选 \(k\) 个不交区间的和的最大值。

如果没有区间限制和多组询问，这个东西是 wqs 二分典题。

考虑加入多组询问，我们干脆把最后的凸包求出来。

这个可以分治，求左右凸包，然后闵可夫斯基和合并。合并的时候要注意，如果左凸包选了右端点，右凸包选了左端点，那么它们事实上可以合并成一个区间。所以额外记录左右端点选择情况分讨合并。

考虑加入区间限制，我们第一想法肯定是扔到线段树上。

现在你手头有 \(\log n\) 个凸包，你想求出它们的闵可夫斯基和在 \(k\) 处的值。

那显然我们不能 \(O(len)\) 合并，也不能 \(O(k)\) 归并。

你考虑使用 wqs 二分类似的方法，我们二分额外价值 \(w\)，然后再在每个区间的凸包上二分找切点。

复杂度是 3 个 log，寄寄寄。

但是我们可以把最后一个二分去掉，只要我们询问的斜率满足单调性。

你考虑把第一个二分当成一个整体二分，整体二分有一种写法就是，对每个询问，求出当前要二分的 mid，然后对 mid 排序，用一个指针从左到右扫一遍，找出该往哪边走。这样由于二分次数是 \(\log\) 的，所以指针移动次数是线性对数的。

那我们可以采用这种做法，相当于是对全局进行 \(\log\) 次 wqs 二分，求出要问的斜率，排序，然后决定往哪边扔。这样每次二分的时候，每个线段树节点的凸包被询问的斜率都是单调的，就可以均摊了。

总复杂度 \(O((n+q)\log n\log v)\)。

https://www.luogu.com.cn/blog/Flying2018/wqs-er-fen-min-ke-fu-si-ji-hu-xue-xi-bi-ji