决策单调性与四边形不等式

决策单调性与四边形不等式

basic

\[f(i)=\min_{1\le j\le i}w(j,i) \]

如果 \(opt(i)\le opt(i+1)\)，我们称这个东西有决策单调性。这里我们统一令 \(opt(i)\) 是最小的那一个，其实最大的是一样的。

如果 \(w(a,c)+w(b,d)\le w(a,d)+w(b,c)\)，我们称 \(w\) 满足四边形不等式。

结论：若 \(w\) 满足四边形不等式，那么 \(f\) 有决策单调性。

证明可以考虑反证。

实际上，四边形不等式跟 \(w(l,r)+w(l+1,r+1)\le w(l,r+1)+w(l+1,r)\) 是等价的。而这个可以移项之后看成二维差分，所以四边形不等式跟二维差分非正等价。（不对啊，这个应该是非负吧，oiwiki 上是不是写错了）

我们可以分治计算，也可以基于，同一个决策点对应的点是一个区间，二分队列来计算。

pro

\[f(i)=\min_{1\le j\le i}f(j-1)+w(j,i) \]

你发现，\(f(j-1)+w(j,i)\) 的二维差分，可以把 \(f\) 消掉，所以这个东西也是满足四边形不等式的。

我们只能二分队列。

ppro

\[f(k,i)=\min_{1\le j\le i} f(k-1,j-1)+w(j,i) \]

这个相当于把序列分成 \(k\) 部分。也相当于从头开始走出一条长度为 \(k\) 路径。

我们仍然可以对每层进行分治，这时会有一个常见的优化点：指针的移动次数有保证。

但是有更好的做法。这基于 \(opt(k-1,i)\le opt(k,i)\le opt(k,i+1)\)。

后者是单层的单调性，我们这里只对前者进行感性的证明。

我们考虑一个简单的情况，你经过思考之后，发现这里交换一下之后，由相交小于包含，我们知道这两个路径的和一定不会变大，而这两个路径分别是最小值了，所以两个路径的和不会变小，所以是相等。但是这样的话我们得到了一个字典序更小的答案，这与 \(opt\) 选取是最小位置矛盾。

我们分析一下这个保证的界。你令 \(k=O(m),i=O(n)\)，我们有复杂度是 \(O(n(n+m))\)。

你考虑把这个东西想象成一个矩阵，那么在一个位置的算量就是它右面的减上面的，那你发现一条对角线的算量可以消消消变成 \(O(n)\)，而对角线一共有 \(O(n+m)\) 条，所以就是这样的。

凸性质

ppro 的问题，设 \(k\) 时答案为 \(g(k)\)，我们有 \(g(k)\) 关于 \(k\) 下凸，也就是说 \(2g(k)\le g(k+1)+g(k-1)\)。

证明我们仍然进行一个最简单情况的证明。你考虑两条长度分别是 \(k-1,k+1\) 的路径，然后你经过观察发现这里存在一个可以交换的位置，交换之后，你得到两条长度为 \(k\) 的路径，由最优性，\(2g(k)\le\) 现在的和 \(\le g(k-1)+g(k+1)\)，后者是由四边形不等式保证的。

max

\[f(i,j)=\min_{1\le k<i} f(i,k)+f(k+1,j)+w(i,j) \]

结论是，如果 \(w(i,j)\) 还满足区间包含单调性（本质上是一阶差分），那么 \(f\) 满足四边形不等式。这个证明好长的，根本不想看，之后再说。

所以，\(opt(i-1,j)\le opt(i,j)\le opt(i,j+1)\)，我们不妨对后者进行证明，你发现对于固定的 \(i\) 而言，右式是一个关于 \((k,j)\) 的函数，由于每一项都满足四边形不等式，所以整体也满足四边形不等式，所以做完了。

这个可以做到 \(O(n^2)\)。

promax

环上邮局，有各种神秘做法。

reference

https://oi-wiki.org/dp/opt/quadrangle/

https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/dp-di-jue-ce-dan-diao-xing-you-hua-zong-jie

APIO2021 决策单调性与四边形不等式