集合幂级数

集合幂级数

（我写下这行的时候还不知道集合幂级数是啥，但这并不影响我们慢慢学）

首先，FFT FWT 之类的，都可以看作对原序列进行线性变化，然后对应位置相乘，再逆变换回来得到答案。那我们可以把序列看成向量，把变换看成矩阵。这是一种理解方式，这样，这些操作的线性性是显然的。

我们直接推导一下异或 FWT 的表达形式。

\[FWT(A)_k=\sum_{i=0}^na_{ki}A_i\\ \begin{aligned} &FWT(A)_kFWT(B)_k=FWT(A\oplus B)_k\\ \iff& \sum_{i=0}^na_{ki}A_i\sum_{i=0}^nb_{ki}B_i=\sum_{i=0}^na_{ki}\sum_{j\oplus w=k} A_jB_w\\ \iff& \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^na_{k,i}a_{k,j}A_iB_j=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^na_{k,i\oplus j}A_iB_j\\ \iff& a_{k,i}a_{k,j}=a_{k,i\oplus j} \end{aligned} \]

通常，取

\[A=\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix} A^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

你可以把这个当成多元 FFT。我们平常做的 FFT 其实就是长度是 \(2^k\) 的不进位加法，也就是循环卷积。

然后我们对于有很多位的，考虑定义 \(F_{x,y}=\prod_{i=0}^{\log n} A_{x_iy_i}\)，那么由每位独立的性质，我们可以得到：

\[\begin{aligned} F_{x,y}F_{x,z}&=\prod_{i=0}^{\log n}A_{x_iy_i}A_{x_iz_i}\\ &=\prod_{i=0}^{\log n}A_{x_iy_i\oplus z_i}\\ &=F_{x,y\oplus z} \end{aligned} \]

事实上，\(FWT(A)_k=\sum_{i=0}^{2^n-1}a_{ki}A_i=\sum_{i=0}^{2^n-1}(-1)^{\text{popcount}(i\cap k)}A_i\)。

事实上，我们这个 F 在做 Kronecker 积，如果我们记 \(\oplus\) 为 Kronecker 积，乘法是矩阵乘法，那么有性质。

\[(A\oplus B)(C\oplus D)=(AC\oplus BD) \]

其中 \(A,B,C,D\) 都是方阵。

然后，利用这个，我们有

\[A\oplus B\oplus C=(A\oplus I_n\oplus I_n)(I_n\oplus B\oplus I_n)(I_n\oplus I_n\oplus C) \]

因为我们事实上要算 \(F(A\oplus \dots \oplus A)\)，其中 \(F\) 是向量，\(A\) 是原矩阵。那么我们知道可以拆成矩阵乘法，然后拆出来的矩阵是稀疏的，最多有 \(n^{k+1}\) 个非零项，所以复杂度是 \(O(k2^{k+1})\)。

子集卷积

你也可以叫它集合不交并卷积。形式化来讲：

\[h_k=\sum\limits_{i\cap j=0 \ i\cup j=k}f_ig_j \]

我们来先随便胡一个做法。你考虑容斥 \(i\cap j=0\) 这个限制，然后变成有一个集合，要求这里面每一位都是 1，然后还要求 \(i\cup j=k\)。如果你枚举的是 \(S\)，那么后面这部分我们可以做到 \(2^{n-|S|}(n-|S|)\)，清算复杂度。

\[\sum_{S}2^{n-|S|}(n-|S|)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}i2^i=2n3^{n-1} \]

复杂度 \(O(n3^n)\)，这个稍微有点逊。

我们换一个视角。构造 \(F_k=\sum_{i=0}^{2^n-1}[|i|=k]f_ix^i\)，\(G_k\) 同理。这个叫占位多项式。

之前那个条件等价于 \(i\cup j=k,|i|+|j|=|k|\)。这样，我们实质上是要前面做或卷积后面做和卷积。事实上这可以直接用 Kronecker 积构造对应的矩阵，这样复杂度是 \(O(n(2^nn)+n^22^n)=O(n^22^n)\)，事实上我们后面说的做法完全就是在实现这一过程。

我们计算 \(F_i\times G_j\to H_{i+j}\)，其中乘法是或卷积。然后对每个 \(H_k\) 只保留 \(|i|=k\) 的项，就行了。

这个东西拓展到三个卷起来可以做到 \(n^32^n\)，但是多了就不行了。多了的话，我们可能需要真的对和这一维做 FFT。

然后就是要求这么一个式子

\[dp_S=\sum_{T\subset S}dp_Tg_{S-T} \]

我们可以考虑按 \(|S|\) 从小往大做，有人（spx）叫它半半在线卷积。还有全半在线卷积，不懂。

\(n^2\) 多项式操作

如果我们构造 \(F(x)=\sum a_ix^i\)，其中，定义多项式的乘法是上述各类卷积。那么，我们可以对这个多项式进行一些 ln/exp/inv 之类的操作。

你比方说我们还是构造占位多项式。\(F_0\dots F_n\)，我们把这 \(n+1\) 个多项式当成另外一个多项式 \(F'\) 的系数。\(G'F'=1,G'=\frac{1}{1-F'}\)。对比系数，可以得到

\[G_i=-\frac{1}{F_0}\sum_{j=0}^iF_{n-j}G_j \]

其中 \(G_i\) 也是多项式。然后我们定义多项式之间的乘法是或卷积，实现的时候可以先 FMT 最后再统一 IFMT，然后就可以了。

这东西原理我还是不是很清楚，但是我们可以先写几个式子。

\[\exp(F)=G\iff G'(x)=F'(x)G(x)\\ \ln(F)=G\iff \frac{F'(x)}{F(x)}=G'(x) \]

比较系数即可。

但是，这个东西，好像也没啥用。本来都可以用子集卷积的形式来表示出来。

还是，没太看懂。

reference

集合幂级数 蔡欣然

https://codeforces.com/blog/entry/96003