atcoder mujin_pc_2017_d

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我们注意到这个条件其实不是十分好 dp，通常而言的另一个方向就是尝试寻找条件的等价形式。

我们先考虑较简介的情况：直径 \(L\) 上边数为偶。显然 \(D=\frac{L}{2}\)。

在 \(u\rightarrow v\) 路径上，我们注意到两种边的和一定，比较自然的想法是知道它们的差，然后 \(\max(x,y)=sum-|des|\)。

考虑对于一条定向的边 \(u\rightarrow v\)，令 \(w_v=w_u+1\)，这个其实就是我们刚刚说的两种边的差，容易发现这样设的话 lca 的贡献正好被抵消，有 \(d(u,v)=\frac{dis(u,v)+|w_u-w_v|}{2}\)，那么我们的条件等价于 \(|w_u-w_v|\le L-dis(u,v)\)。

这样还是不太好，我们想要的是一个比较独立的形式。一个好的思路是代入一些特殊值试一下先得到必要条件，再证明充分性。

我们不妨取 \(v=m\)，\(m\) 为直径中点。发现没什么用。再考虑取 \(v=\) 不在 \(v\) 子树内的那一个直径端点，我们发现 \(|w_u-w_x|\le L-dis(u,x)=L-dis(u,m)-dis(m,x)=D-dis(u,m)\)。这是好的。

我们取两个端点 \(x,y\)，易得 \(w_x=w_y\)，我们不妨令这样的 \(w_x=0\)，那么上面发现的条件就是 \(|w_u|\le D-dis(u,m)\)。

这个条件也是充分的。略证：（贺的）

\[|w_u-w_v|\le|w_u|+|w_v|\le2D-dis(u,m)-dis(v,m)\le2D-dis(u,v) \]

我们找到了充要条件，直接 dp 即可。

奇数类似。