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我们注意到这个条件其实不是十分好 dp,通常而言的另一个方向就是尝试寻找条件的等价形式。

我们先考虑较简介的情况:直径 \(L\) 上边数为偶。显然 \(D=\frac{L}{2}\)

\(u\rightarrow v\) 路径上,我们注意到两种边的和一定,比较自然的想法是知道它们的差,然后 \(\max(x,y)=sum-|des|\)

考虑对于一条定向的边 \(u\rightarrow v\),令 \(w_v=w_u+1\),这个其实就是我们刚刚说的两种边的差,容易发现这样设的话 lca 的贡献正好被抵消,有 \(d(u,v)=\frac{dis(u,v)+|w_u-w_v|}{2}\),那么我们的条件等价于 \(|w_u-w_v|\le L-dis(u,v)\)

这样还是不太好,我们想要的是一个比较独立的形式。一个好的思路是代入一些特殊值试一下先得到必要条件,再证明充分性。

我们不妨取 \(v=m\)\(m\) 为直径中点。发现没什么用。再考虑取 \(v=\) 不在 \(v\) 子树内的那一个直径端点,我们发现 \(|w_u-w_x|\le L-dis(u,x)=L-dis(u,m)-dis(m,x)=D-dis(u,m)\)。这是好的。

我们取两个端点 \(x,y\),易得 \(w_x=w_y\),我们不妨令这样的 \(w_x=0\),那么上面发现的条件就是 \(|w_u|\le D-dis(u,m)\)

这个条件也是充分的。略证:(贺的)

\[|w_u-w_v|\le|w_u|+|w_v|\le2D-dis(u,m)-dis(v,m)\le2D-dis(u,v) \]

我们找到了充要条件,直接 dp 即可。

奇数类似。

posted @ 2023-05-31 20:35  PYD1  阅读(30)  评论(0)    收藏  举报