P4562 [JXOI2018]游戏

显然整除关系构成一张 DAG，我们每次选择一个点之后可以覆盖所有它能到达的点，在这个情况下再询问这个题的问题。

显然所有点都被覆盖等价于所有入度为 \(0\) 的点被选择，我们可以简单求出入度为 \(0\) 的有几个，这个可以 \(O(n \log\log n)\) 或者线性处理最小不妨设为 \(p\)，接下来就是求这 \(p\) 个数都出现的最早时刻的和。

\[\begin{aligned}\sum_i t(i)&=\sum_{i=p}^n i\cdot cnt_i\\&=\sum_{i=p}^n i\cdot\binom{i-1}{p-1}p!(n-p)!\\&=p!(n-p)!\sum_{i=p}^n\dfrac{i!}{(p-1)!(i-p)!}\\&=p\cdot p!(n-p)!\sum_{i=p}^n\binom{i}{p}\\&=p\cdot p!(n-p)!\binom{n+1}{p+1}\\&=\dfrac{p}{p+1}(n+1)!\end{aligned} \]

这个式子就很优美了，当然好像还有另一种期望的理解方式，可见题解。