P3773 [CTSC2017]吉夫特

考虑什么时候 \(\binom{n}{m}\equiv 1(\bmod 2)\)，由 Lucas 定理，我们知道

\[\binom{n}{m}\equiv \binom{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}\binom{n \% 2}{m \% 2} \]

而后面一项除了 \(\binom{0}{1}\) 以外都等于 \(1\)，前面一项相当于二进制位右移一位。

所以我们考虑 \(n,m\) 对应二进制位，若存在 \(n,m\) 分别是 \(0,1\) 就不合法，否则都合法。

发现这相当于 \(m\subseteq n\)。

那么我们现在来考虑怎么计数，如果记 \(f_i\) 是以 \(i\) 结尾的序列的个数的话，我们有：

\[f_i=\sum_{j<i\\a_i\subseteq a_j}f_j \]

我们考虑按下标顺序转移，这样可以忽略掉第一个限制，只用处理第二个限制。我们可以枚举子集做就完了。

\(O(3^{\log_2 \max a_i})\)。

同时，我们注意到这个 dp 是没有加任何优化的，我们可以考虑优化查询第二个限制。

我们观察到子集关系构成一张 DAG，似乎没什么手段好用。

我们可以考虑分块，把每个数分成二进制位下前若干位和后若干位。

相当于是支持在一个位置上修改值，查询超集的和。

我们可以考虑维护一个 \(sum_{i,j}\) 表示前面是 \(i\)，后面是 \(j\) 的超集的和。

每次查询时枚举 \(i\)，每次修改时枚举 \(j\)。

复杂度 \(O(n\sqrt{\max{a_i}})\)。