[USACO09Open] Tower of Hay 干草塔

洛咕

简化版题意：给定\(N(N<=200000)\)个数的序列，从1到N划分成连续的段，在满足每一段的和从前往后满足非严格单调递增的条件下，求最多能划分成多少段？

分析：不妨倒序来做，设sum[i]表示i到n的和，也就是后缀和.设f[i]表示i到n划分成的段中的最大和，其实也就是最新一段的和,因为我们要使得划分的段数尽量的大，所以每一段的和要尽量的小,即\(f[i]=min_{sum[i]-sum[j]}\),其中\(i<j\)且\(sum[i]-sum[j]>f[j]\).这个东西我们可以用单调队列来维护.

我们维护一个\(f[]+sum[]\)单调递增的队列，每次先检查队首，如果\(sum[i]>=f[q[l+1]]+sum[q[l+1]]\)就说明\(q[l+1]\)比\(q[l]\)更优，因为这个式子说明\(q[l+1]\)也可以更新\(f[i]\),而\(j\)越小越好，所以\(q[l+1]\)更优秀，就\(l++\);然后更新\(f[i]\)和最大段数.队尾的维护前面说了维护递增队列即可.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,o=1;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*o;
}
const int N=100005;
int a[N],h[N],q[N],f[N],sum[N];
int main(){
	int n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
	for(int i=n;i>=1;--i)sum[i]=sum[i+1]+a[i];
	int l=0,r=0;
	for(int i=n;i>=1;--i){
        while(l<r&&sum[i]>=f[q[l+1]]+sum[q[l+1]])++l;
        f[i]=sum[i]-sum[q[l]];h[i]=h[q[l]]+1;
        while(l<r&&f[q[r]]+sum[q[r]]>f[i]+sum[i])--r;
        q[++r]=i;
	}
	printf("%d\n",h[1]);
    return 0;
}