CF2019D. Speedbreaker 题解

介绍一种另解，以下称“征服”为“拓展”。

对于这些需要拓展，且拓展的时间有上界的题，我们通常都会有一个 trick。那就是对于一个点 \(x\)，用它可以拓展到的点 \(y\) 的时间上界把 \(x\) 的时间上界继续缩小。用到这种 trick 的题有 P9755 [CSP-S 2023] 种树、[ABC304Ex] Constrained Topological Sort，以及本题。

关于这个 trick 在本题的具体体现，不妨设 \(t_i\) 为点 \(i\) 被拓展到的时间，\(a_i\) 为点 \(i\) 被拓展时间的上界。定义 \(L_i\) 为从点 \(i\) 拓展到点 \(1\)，满足 \(\forall i\in[1,i],t_i\leq a_i\) 的最大的 \(t_i\)。则 \(L_i\) 的转移式为：

\[L_i=\begin{cases}a_i&i=1\\\min(L_{i-1}-1,a_i)&i>1\end{cases} \]

这是因为从 \(i\) 拓展到 \(i-1\) 需要 \(1\) 的时间，且也要满足 \(t_i\leq a_i\)。

同理，定义 \(R_i\) 为从点 \(i\) 拓展到点 \(n\)，满足 \(\forall i\in[i,n],t_i\leq a_i\) 的最大的 \(t_i\)。则：

\[R_i=\begin{cases}a_i&i=n\\\min(R_{i+1}-1,a_i)&i<n\end{cases} \]

容易发现 \(L_i\) 是单调递减的，\(R_i\) 是单调递增的。

求出 \(L_i\) 和 \(R_i\) 有什么用呢？考虑当前枚举了一个起始点 \(P\)。对于除了 \(P\) 外的所有点，设其权值为

\[val_i=\begin{cases}L_i&i<P\\R_i&i>P\end{cases} \]

贪心的想，要想满足每个点的时间上界，我们可以优先拓展那些 \(val\) 值小的点。

那这样思路就很明显了，就像 dijkstra 一样，每次把当前可以拓展的点扔进一个小根堆里，按 \(val_i\) 排序，每次从堆顶取出一个点就相当于拓展了这个点，并把时间计数器 \(cnt+1\)，接着再把这个点可以拓展到且还未被拓展的点扔进堆里。

判无解就是判当一个点被从堆顶取出时，当前的时间计数器是否满足 \(cnt\leq val_i\)，如果不满足，则说明点 \(P\) 不能作为起始点。

代码

但这样做是 \(O(n^2)\) 的，考虑如何优化。

容易发现，对于一个起始点 \(P\)，

\[t_i=\begin{cases}P-i+1+\sum\limits_{j=P+1}^{n}[R_j\le L_i]&i<P\\i-P+1+\sum\limits_{j=1}^{P-1}[L_j\le R_i]&i>P\end{cases} \]

这是为什么？考虑 \(i<P\) 的情况。对于求和前面的前面那一部分，如果想要拓展到 \(i\)，则需先将 \([i+1,P+1]\) 的点扩展，因为开始在 \(P\) 时间就为 \(1\)，所以要加 \(1\)。对于求和的部分，则表示在点 \(P\) 右边的需要比 \(i\) 先拓展的点的个数，因为 \(R_i\) 单调递增的性质，可以发现这些点为以 \(P+1\) 为开头的一段前缀，正确性显然。\(R_i\) 同理。

但是若是有 \(i<P,j>P,L_i=R_j\) 的情况呢？这样的情况放在暴力代码中，\(val_i\) 是等于 \(val_j\) 的，且它们一定是先拓展一个，再拓展另一个。也就是说，\(t_i+1=t_j\) 或者 \(t_j+1=t_i\)，判断是否可行则是看 \(\max(t_i,t_j)\) 是否小于 \(val_i\)。而在上面的式子中，\(t_i\) 和 \(t_j\) 都会是 \(\max(t_i,t_j)\)，而这对可行判断是没有影响的。

有了这个式子，我们如何快速判断可不可行？我们可以将 \(val_i\) 减去 \(t_i\)。若是不可行，则 \(\min\limits_{i=1\land i\ne P}^{n}\{val_i-t_i\}<0\)，其实就是看存不存在 \(t_i>val_i\)。

然后用数据结构维护就行了，我这里用了两棵平衡树，一颗维护 \(i<P\) 的点，以 \(L_i\) 为排序关键字，一颗维护 \(i>P\) 的点，以 \(R_i\) 为排序关键字，其实就是 \(val_i\)。设其为 \(T_0\)，\(T_1\)。

平衡树的一个节点 \(i\) 需要维护它的排序关键字 \(val_i\)，\(val_i-t_i\) 的值，它所在子树的 \(\min\limits_{j\in subtree_i} \{val_j-t_j\}\)。且平衡树还要支持区间加减。设 \(sum_i=val_i-t_i\)，\(minn_i=\min\limits_{j\in subtree_i} \{val_j-t_j\}\)。

枚举 \(P\) 时，每次 \(P\leftarrow P+1\) 时，将 \(P+1\) 从 \(T_1\) 中删除，并将 \(P\) 加入 \(T_0\)，同时将 \(T_1\) 整棵树的 \(sum\) 减 \(1\)，\(T_0\) 整棵树的 \(sum\) 加 \(1\)。还要将 \(P+1\) 在 \(T_1\) 时对 \(T_0\) 的贡献抹去，\(P\) 在 \(T_0\) 时对 \(T_1\) 的贡献加上，具体表现为将 \(T_0\) 中 \(val\) 大于等于 \(R_{P+1}\) 的节点的 \(sum\) 加 \(1\)，\(T_1\) 中 \(val\) 大于等于 \(L_{P}\) 的节点的 \(sum\) 减 \(1\)。最后一边修改一边更新 \(minn\)。

如此，\(P\) 可以成为一个起始点当且仅当此时 \(T_0\) 整棵平衡树的 \(minn\) 大于等于 \(0\)，\(T_1\) 整棵平衡树的 \(minn\) 也大于等于 \(0\)。

代码