牛逼题

给你一棵带边权树和一个初始为空的点集 \(S\)，每次在 \(S\) 中加入一个点，一共加 \(n\) 次。每次加点后需要你求出删去边权值的最小值使得所有 \(S\) 中的点互不联通。

\(n \le 5\times 10^{6}\)。\(\text{1.5s, 1024MB}\)。

考虑一条边什么时候才会被删掉。在加点的过程中，若两个点集中的点联通了，那么就需要断开它们简单路径中的一条边，我们不妨贪心地考虑，直接删掉最小的那个。

这样其实是对的。

下面我们考虑加入这个点之前的点集情况。首先，加入一个点之后，它最多只会与一个当前点集里面的点联通，这是因为联通的传递性，如果同时联通了两个点，那么那两个点也联通，这不符合前面加点的合法性。

此外，对于这个点，必然会与一个当前点集中的点联通。我们考虑使用归纳法在集合大小大于 \(2\) 时证明这个事情。对于一个以 \(x\) 为根（\(x\) 不在点集中）的最大深度 = 2 的子树，我们忽略不在点集中的儿子，一定存在一个儿子与 \(x\) 联通，这是因为如果所有儿子都不与 \(x\) 联通，此时我们必然可以随便抽一个儿子和 \(x\) 联通，由于边权非负，此时仍然合法，且代价变小，矛盾，因此一定存在一个儿子与 \(x\) 联通。另外，如果有 \(>1\) 个儿子与 \(x\) 联通也不行，因为它们会通过 \(x\) 联通使得不合法，因此有且仅有一个儿子与 \(x\) 联通。

我们再来考虑以 \(x\) 为根（不在点集中）的最大深度 \(>1\) 的普遍情况，对于所有没有点集中的点的子树，我们忽略。对于所有不为点集中的点的儿子，因为它没有被忽略，因此它的子树中一定还有其它点，所以深度 \(>1\)。由于在做归纳法，且已证底，因此我们可以假设它子树中一定存在点与它联通。如果对于 \(x\)，每个儿子到它的边都被删除了，我们一定可以去掉一个被删除的边，此时同样合法且答案更小，因此对于这个点，必然会与一个当前点集中的点联通。

在此基础上，我们来说明不断每次删掉路径中最小的边是正确的。依然考虑归纳，对于两个点的时候，显然删掉最小的边最优。对于 \(k>2\) 个点的时候，我们假设前面的答案是 \(a_1\)，点集为 \(S\)，此时再加入一个点 \(p\)。对于答案为 \(a_1\) 的删边情况 \(E_1\)，我们在此基础上进行操作，显然也是删掉最小的边最优，因此我们考虑有否存在另一个删边情况 \(E_2\)，它加入点 \(p\) 之前答案是 \(a_2\)，使得在此基础上操作能够得到的答案更小。

假设 \(E_1\) 中，与 \(p\) 联通的点为 \(x\)，在 \(E_2\) 中，与 \(p\) 联通的点为 \(y\)。首先 \(x\) 一定不等于 \(y\)，因为如果等于，那么此时 \(p\) 到 \(x\) 的最小值等于 \(p\) 到 \(y\) 的最小值，又由于 \(a_1<a_2\)，所以 \(E_2\) 一定不优。接下来我们考虑 \(x\ne y\) 的情况。

草拟吗要用拟阵。证不下去了，反正是对的。