数学杂项

模运算

对于所有 \(x\bmod p =c\)，我们认为它们是一个同余系的，在模意义下，你可以认为它们就是同一个数。

这里列出不完全的性质，假设全体同余系集合为 \(\mathbb{Z}_{p}\)，则 \((\mathbb{Z}_{p},+,\cdot)\) 构成一个交换环，且 \((\mathbb{Z}_{p},\cdot)\) 也是幺半群。

对于不同的模数，我们有乘法对取模运算的分配律。

最大公约数和最小公倍数的关联

对于 \(x,y\)，一直有 \(\gcd(x,y)\text{lcm}(x,y)=xy\)，这是因为 \(xy\) 是 \(x,y\) 的一个公倍数，为了得到最小公倍数，我们考虑缩减 \(x,y\) 都有的因子，它们在 \(xy\) 中被计算了两次，这样最大的因子就是 \(\gcd(x,y)\)，因此 \(xy/\gcd(x,y)=\text{lcm}(x,y)\)。

对于 \(x,y\)，一直有 \(\gcd(x,y) \mid \text{lcm}(x,y)\)，这是因为 \(\gcd(x,y)\) 是 \(x,y\) 的因数，而 \(\text{lcm}(x,y)\) 又是 \(x,y\) 的倍数，因此得证。

欧几里得算法

给你两个数 \(x,y\)，希望能够求它们的最大公因数。

我们可以假设它们的最大公因数是 \(d\)，那么两个数就可以表示成 \((dx',dy')\)，其中 \(x'=\frac{x}{d},y'=\frac{y}{d}\)，\(x'\) 和 \(y'\) 互质，不妨设 \(x\) 是最大的，我们用 \(dx'\) 来模 \(dy'\)，就会得到 \(dx' \bmod dy' = d(x' \bmod y')=x \bmod y\)，不妨 \(x \bmod y =c,(x' \bmod y')=c'\)，那么 \(\gcd(c,y)\) 一定有因数 \(d\)，让我们证明 \(\gcd(c,y)=d\)。

即 \((x' \bmod y')\) 和 \(y'\) 互质。考虑反证法，若 \((x' \bmod y')=c'\) 和 \(y'\) 不互质，设 \(\gcd(c',y')=d'\)，则 \(x'=c'+ky'\) 有 \(>1\) 的因数 \(d'\)，又 \(y'\) 有 \(>1\) 的因数 \(d'\)，因此 \(x',y'\) 不互质，这与一开始的前提冲突，因此 \(\gcd(c,y)=d\)。

因此 \(\gcd(x,y)=\gcd(y,x \bmod y)\)。如果 \(y\le \lceil \frac{x}{2} \rceil\)，则 \(x \bmod y<\lceil \frac{x}{2} \rceil \implies x\bmod y \le \lfloor \frac{x}{2} \rfloor\)，若 \(y>\lceil \frac{x}{2} \rceil\)，则 \(x \bmod y = x - y \le x-\lceil \frac{x}{2} \rceil \implies x\bmod y \le \lfloor \frac{x}{2} \rfloor\)，因此每次操作前最大的数至多会变成之前的一半，因此两个数的乘积每次至少会减少一半的上取整，当乘积第一次为 \(0\) 时，当前不为 \(0\) 的数就是 \(d\)，因此复杂度是 \(O(\log V)\)。

二元一次不定方程

形如 \(ax+by=c\) 的不定方程，我们希望探究其性质。

裴蜀定理（Bezout's theorem）：对于形如 \(ax+by=c\) 的不定方程，其有解的充要条件是 \(\gcd(a,b) \mid c\)。

裴蜀定理的必要性：任意 \(ax+by\) 的任意值都是 \(\gcd(a,b)\) 的倍数。
证明：对于 \(ax+by\)，由于 \(a,b\) 都是 \(d\) 的倍数，所以 \(ax+by=adx'+bdy'=d(ax'+by')\) 也是 \(d\) 的倍数。

对于裴蜀定理，我们还需要证明充分性，结合欧几里得算法，我们就可以有构造性证明。

首先寻找一组 \(ax+by=d\) 的一组解，然后我们再构造出 \(c\) 的一组解。

首先在欧几里得算法结束的时候会有一组 \(a',b'\)，不妨设 \(a\) 为非零数，则 \(x'=1,y'=0\) 则是对于当前 \(a',b'\)，\(a'x'+b'y'=d\) 的一组解，跳转到 \((a',b')\) 的上一个递归状态 \((a,b)\)，其中 \(a=\lfloor a/b\rfloor b+b',b=a'\)，我们希望根据原来的解构造一组新的解，容易想到尝试让它们 \(a',b'\) 的系数相等，可以利用 \(b=a'\) 改写 \(a=\lfloor a/b\rfloor a'+b'\)。由于 \(b=a'\) 因此，我们可以考虑先让 \(y=x'\)，剩下我们希望考虑希望 \(b'\) 的系数也同样相等，这会对于 \(a'\) 额外带来 \(y'\lfloor a/b\rfloor\) 的系数，好在我们可以直接让 \(y\) 减去 \(y'\lfloor a/b\rfloor\) 就可以补平 \(a'\) 的系数。因此，新的解得到了是 \((y',x'-y'\lfloor a/b\rfloor)\)。至此，我们构造了 \(ax+by=d\) 的一组解。

在此基础上，我们可以将 \(ax+by\) 整体乘上 \(k(k \in \mathbb{Z})\) 来得到 \(d\) 的倍数，将 \(k\) 乘在 \(x,y\) 上即可得到 \(c\) 的解。

至此，我们证明了裴蜀定理。

扩展的，如果需要更多 \(ax+by=d\) 的解，假设 \(a(x+k_1)+b(y+k_2)=d\)，那么 \(ak_1+bk_2=0\)，移项得到 \(k_1=\frac{-k_2b}{a}\)，这个时候 \(k_2b\) 必须是 \(a\) 的倍数，因此 \(k_2\) 必须是 \(\text{lcm}(a,b)/b\) 的倍数，假设是 \(q\) 倍，此时得到 \(k_2=q \cdot \text{lcm}(a,b)/b,k_1=-q \cdot \text{lcm}(a,b)/a\)，通过 \(\gcd(a,b)\text{lcm}(a,b)=ab\)，我们可以表示 \(k_1=q \cdot \frac{b}{\gcd(a,b)},k_2=-q \cdot \frac{a}{\gcd(a,b)},q\in \mathbb{Z}/\{0\}\)。

模意义下逆元

对于 \(x\)，如果有 \(xy \equiv 1 \pmod p\)，我们就称 \(y\) 是 \(x\) 的逆元，记作 \(x^{-1}\)。

模意义下逆元的唯一存在性

\(xy \equiv 1 \pmod p \implies xy + pm = 1\)，我们已知 \(x,m\)，希望求得 \(y\)，这是一个二元一次不定方程，根据裴蜀定理有解等价于 \(\gcd(x,m) \mid 1\)，因此 \(\gcd(x,m)=1\)，即 \(x,m\) 互质。也就是说，当且仅当 \(x,m\) 互质的时候，\(x\) 在模 \(m\) 意义下存在逆元 \(x^{-1}\)。

由不定方程解的构造，\(x\) 所有的解都是描述为 \(x_0+km\)，因此它们在同一个同余系里，因此在 \(0\sim m-1\) 中，这样的 \(y\) 是唯一的，也就是说，逆元是唯一的。

模意义下逆元的性质

假设 \(x,y\) 在模 \(m\) 意义下的逆元是 \(x^{-1},y^{-1}\)。

则 \((xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}\)，即逆元对乘法存在分配律。

证明：\(xy\times (xy)^{-1} = 1,x \times x^{-1} = 1,y\times y^{-1} = 1\)