bzoj 2870

20 pts

其中有 \(20\%\) 的数据树退化成一条链。

考虑树为链的做法。对于一个点，我们钦定它是当前点权最小的点，那么此时为了让点权乘链长最大，我们考虑尽可能地往左边和右边扩展，也就是此时查询左边第一个小于它点权的点的右边，右边第一个小于它点权的点的左边，这个直接使用二分即可做到 \(O(\log n)\)。因此我们直接枚举该点并应用以上扩展即可做到 \(O(n\log n)\)。

100 pts

Sol 1 并查集维护树的直径

考虑不为链怎么做？依旧考虑钦定一个点，如果该点为最小值，相当于比它小的点都不可以加入这条链，相当于删掉了这个点。那么当前的所有存在的点都是大于等于它的点，这个时候连通块的直径就是答案。单次求直径是 \(O(n)\) 的，如果暴力那么就是 \(O(n^2)\) 的。

然而，我们可以继承一些信息，如果我们从大到小枚举点，那么原先保留的点，之后依然存在，同时，我们还会加入一些点。

题目现在变成了这样：

你需要维护一个树状连通块，每次加入一个点，并查询该点所在连通块的直径。

这显然是 Colorful tree 的一个结论，就是如果两个连通块 AB 合并，且 A 连通块的任意直径为 \((x_A,y_A)\)，同样的 B，那么合并后的连通块的直径的两个点只有可能在 \(\{x_A,y_A,x_B,y_B\}\) 里面选取。

证明：若 \(x,y \in S_{1}\)，则它们的距离一定不会大于 \(x_{A},y_{A}\) 的距离。对于 \(S_2\)，也是同理。现在考虑 \(x \in S_{A},y\in S_{B}\)。考虑反证调整法，若 \(x \in S_{A},y \in S_{B},x \ne x_{A},y_{A}\)。则 \(z\) 一定可以通过向 \(x_A\) 或者 \(y_A\) 移动来使得与 \(y\) 的距离增大。因为 \(x\) 要么是直径上的点，要么是延申的枝条上的点。

因此，我们只需要维护每个连通块的直径，直接合并即可。瓶颈在于查询两点的距离，使用平凡算法做到 \(O(\log n)\)，使用长链剖分做到 \(O(1)\)（此时瓶颈是并查集）。

总复杂度为 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n \alpha(n))\)。