傻逼数学题

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在一个平面直角坐标系中现在有一个圆，他的方程是 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，现在有一个长度为 \(d\) 的视频，同时圆上有一个点，一开始在 \((a,b+r)\) 的位置，点不断在圆的边上运动，假设目前视频的播放位置是 \(o\)，点的当前速度是 \(v=ko+p\)。同时，视频的播放速度是点在圆上的纵坐标。求视频将在什么时候播放完毕？

\(a,b,r,d,k,p\) 全部是给定的变量。保证视频一定会在有限时间内结束。

我们先考虑当前的视频播放进度 \(o\) 的表达式

\[o(t)=\int_{0}^{t} (v'(\tau_{1}))d\tau_{1}. \]

接下来，我们求出视频播放速度 \(v'\) 的表达式

\[v'(t)=b+r\sin(\frac{\int_{0}^{t} (v(\tau_{2}))d\tau_{2}}{r}). \]

代入 \(v=ko+p\)

\[v'(t)=b+r\sin(\frac{\int_{0}^{t} (ko(\tau_{2})+p)d\tau_{2}}{r}). \]

将第三个式子代入