题解：CF1941B Rudolf and 121

题意

给出一个由 $n$ 个整数组成的数组 $a$，元素的编号从 $1$ 到 $n$。对于每一次操作，选择下标 $i$，执行以下赋值操作。

$a_{i−1}\gets a_{i−1}−1$

$a_{i}\gets a_{i}−2$

$a_{i+1}\gets a_{i+1}−1$

是否可以用这个操作，使整个数组变为零。

思路

题目中的操作是修改 $3$ 个元素的值，考虑对原序列差分。题目中的每一次操作就相当于将差分数组 $b_{i-1}$ 以及 $b_{i}$ 减 $1$，将 $b_{i+1}$ 与 $b_{i+2}$ 加 $1$。最终的目标是使得 $b$ 变为全零。

那么对于任何一个 $i$，如果 $b_{i-1}$ 是一个正数，那么就必须选择 $i$ 执行 $b_{i-1}$ 次操作，因为在 $i-1$ 后只有 $i$ 还能减小 $b_{i-1}$ 的值，而且也只能进行 $b_{i-1}$ 次操作，因为在操作就会使 $b_{i-1}$ 变为负数。如果 $b_{i-1}$ 此时为负数，那么就不可能在让它变为正数了，所以不可以使整个 $b$ 数组变为零。

那么我们从 $2$ 到 $n-1$ 遍历一遍所有 $b_{i}$ 然后按照刚刚的思路操作就可以了。

最后检查 $b$ 数组如果不全为零，那么就不可以使整个 $b$ 数组变为零。

Code

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1e5*2+10;
int a[N],b[N];
int n;
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
		for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i]<0)
		{
			puts("NO");
			continue;
		}
		b[1]=a[1];
		for(int i=2;i<=n;i++) b[i]=a[i]-a[i-1];
		bool flag=0;
		for(int i=2;i<n;i++)
		{
			if(b[i-1]<0) break;
			b[i]-=b[i-1];
			b[i+2]+=b[i-1];
			b[i+1]+=b[i-1];
			b[i-1]-=b[i-1];
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(b[i]!=0) flag=1;
		if(flag) puts("NO");
		else puts("YES");
	}
	return 0;
}