记 2024.4.15

P2079

烛光晚餐

题目背景

小明准备请小红去一家咖啡厅，共进烛光晚餐。小红高兴地和他一起去了咖啡厅。

题目描述

小红说：“小明，你点菜吧。”小明看到菜单上有N道菜，每道菜的价格是Ci。小明对每道菜的喜爱程度是Xi，小红对每道菜的喜爱程度是Yi。（喜爱程度可能为负数）（小明：以我对她的了解，我给你的数据不会错的）

小明带了V元钱，他点的菜的总价格不能超过V（小明：当然得我请客啦，显得我大方。）

小明希望让小红吃得开心，所以当然要让她的总喜爱程度尽量大。当然，小明也要考虑自己的感受，点的所有菜的总喜爱程度需要大于等于0。（小明：要是我吃得不好，她看见我会难过的）

请你帮小明写一个程序，计算出他的总喜爱程度大于等于0的前提下，小红的喜爱程度的最大值。（小明：你的程序一定要靠谱啊，我得给她一个好印象）

输入格式

第1行，两个正整数N，V。

之后N行，每行3个空格隔开的正整数Ci，整数Xi，Yi。

输出格式

一行，一个正整数，表示他的总喜爱程度大于等于0的前提下，小红的喜爱程度的最大值。如果这个最大值小于0，输出-1.

样例 #1

样例输入 #1

4 10
5 -1 3
2 2 2
11 -5 100
3 -3 10

样例输出 #1

5

提示

对于10%数据，N<=10,V<=50。

对于30%数据，Xi，Yi>=0.

对于全部数据，N<=100,V<=500，|Xi|<=5，|Yi|<=1000.

记得这种有容量的选物品问题要先考虑背包，不要在想半天贪心了，我真是弱智了，居然没去想背包。

负数dp记得加偏移量，记得初始化 $f$ 数组为最坏的。

状态转移方程

dp[i][j+500]=max(dp[i][j+500],dp[i-w[i]][j+500-w1[i]])

$i$ 为背包容量，$j$ 为喜欢值容量。

code

#include <iostream>
#include <cstring> 
using namespace std;
const int N=110,M=1010;
int f[M][M];
int n,m,m1;
int v[N],w[N],w1[N],minn[M];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>w1[i]>>v[i];
    int ans=-0x3f3f3f3f;
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    f[0][500]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
        {
            for(int k=500;k>=-500+w1[i];k--)
            {
            	if(k-w1[i]<=500&&k-w1[i]>=-500)
                	f[j][k+500]=max(f[j][k+500],f[j-w[i]][k+500-w1[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    for(int j=m;j>=0;j--)
    {
        for(int k=500;k>=0;k--)
        {
            ans=max(ans,f[j][k+500]);
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

P2865

[USACO06NOV] Roadblocks G

题面翻译

贝茜把家搬到了一个小农场，但她常常回到 FJ 的农场去拜访她的朋友。贝茜很喜欢路边的风景，不想那么快地结束她的旅途，于是她每次回农场，都会选择第二短的路径，而不象我们所习惯的那样，选择最短路。
贝茜所在的乡村有 $R(1\le R \le 10^5)$ 条双向道路，每条路都联结了所有的 $N(1\le N\le 5000)$ 个农场中的某两个。贝茜居住在农场 $1$，她的朋友们居住在农场 $N$（即贝茜每次旅行的目的地）。
贝茜选择的第二短的路径中，可以包含任何一条在最短路中出现的道路，并且，一条路可以重复走多次。当然咯，第二短路的长度必须严格大于最短路（可能有多条）的长度，但它的长度必须不大于所有除最短路外的路径的长度。

输入格式

Line 1: Two space-separated integers: N and R

Lines 2..R+1: Each line contains three space-separated integers: A, B, and D that describe a road that connects intersections A and B and has length D (1 ≤ D ≤ 5000)

输出格式

Line 1: The length of the second shortest path between node 1 and node N

样例 #1

样例输入 #1

4 4
1 2 100
2 4 200
2 3 250
3 4 100

样例输出 #1

450

提示

Two routes: 1 -> 2 -> 4 (length 100+200=300) and 1 -> 2 -> 3 -> 4 (length 100+250+100=450)

直接在dijkstra时求严格次短路，松弛时就可以更新次短路变成松弛之前的了，注意不需要 $st$ 数组，因为不能保证目前的最短路是最短时，目前的次短路是最短的。

注意特判 $q.top()$ 不是目前求得的最短路 $continue$，如果不判，就会浪费又遍历一遍所有边，那时间复杂度就假了。

好好想，你其实可以想出来，不要太早判假，注意无用情况是可以去除的，所以可以去除他们大量优化时间复杂度。

code

口胡。

考虑 题解，优化也在里面。