阶梯 NIM

一个经典问题。

现在，有一个 \(n\) 级台阶的楼梯，每级台阶上都有若干个石子，其中第 \(i\) 级台阶上有 \(a_i\) 个石子（\(i \ge 1\)）。

两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶中（不能不拿）。

已经拿到地面上的石子不能再拿，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

做法？

考虑对于第一堆石子，如果操作，则相当于丢弃操作的石子。

因为第 \(0\) 堆石子是偶数，且石头到第 \(0\) 堆石子就消失，所以考虑两个人只能移动奇数石子，那么移到偶数格即为丢弃了，最后，所有的石子会都在偶数格。（此时允许移动偶数格子）那么此时先手必输，因为后手只需要将所有先手移到奇数的再移到偶数格即可，由于 \(0\) 也是偶数格，所以将最后一点石子移到 \(0\) 就绝对是后手，也就是后手结束了这个游戏，那么先手就输了。

我们再来讨论两个人不是只会移动奇数石子的情况，如果根据上述规则，先手必胜，那么先手绝对会按照此方法行动，如果后手试图打破，只需要将后手移动的石子再移动到下一个偶数格子即可，如果后手必胜，那么后手也可以通过此方法逼先手玩 NIM 游戏。

因此，这个游戏相当于只有奇数格子的 NIM 游戏。