题解 acwing202. 最幸运的数字

题目‘

思路

考虑直观的用式子表达题目中的限制：

\[\begin{aligned} L \mid \frac{10^{x}-1}{9}\times 8 \end{aligned} \]

让两边同时乘 \(9\)：

\[\begin{aligned} 9L \mid (10^{x}-1)\times 8 \end{aligned} \]

此时 \(9\) 可以消掉：

\[\begin{aligned} L \mid (10^{x}-1)\times 8 \end{aligned} \]

继续简化，由于我们不知道 \((10^x-1)\) 这一项，所以考虑除 \(\gcd(L,8)\)：

\[\begin{aligned} \frac{L}{d} \mid (10^{x}-1)\times 8 \end{aligned} \]

此时式中的 \(\frac{L}{d}\) 与 \(8\) 互质，于是考虑删去 \(8\)，关于为什么能删掉：

由于整除相当于被除数的质因数减去除数的质因数，比如 \(6=2\times 3\) 与 \(3=3\) 相除就是 \(2=2\) 相当于减去了 \(3^1\) 这个质因数，不能整除就相当于除数有被除数没有的质因数。或次数更大。互质就代表对于 \(\frac{L}{d}\) 中的质因数，在 \(8\) 之中没有，所以对于整除式来说，\(\frac{L}{d}\) 中的质因数，已经全部出现在了 \(10^x-1\) 之中，那么这时，去除 \(8\) 中的质因数就不会有任何影响。（作为被除数的 \(\frac{L}{d}\) 的已经全部出现在了\(10^x-1\) 之中）

所以考虑如下式子：

\[\begin{aligned} \frac{L}{d} \mid (10^{x}-1) \end{aligned} \]

变成同余式：

\[\begin{aligned} 10^{x}\equiv 1 \pmod{\frac{L}{d}} \end{aligned} \]

走投无路了，考虑欧拉定理解：

\[\begin{aligned} 10^{\phi(\frac{L}{d})}\equiv 1 \pmod{\frac{L}{d}} \end{aligned} \]

但是不一定保证最小，于是考虑思考最小正整数解与欧拉定理解的关系。有一个性质就是最小正整数解一定是欧拉函数解的因数。

证明如下：

反证法。如果设最小正整数解为 \(x_0\)，\(\phi(\frac{L}{d})=qx_0+r(0<r<x_0)\)。如果有一个正整数解 \(10^{x_0} \equiv 1\pmod{\frac{L}{d}}\)，那么就一定有 \(10^{qx_0} \equiv 1\pmod{\frac{L}{d}}\)，此时 \(10^{\phi(\frac{L}{d})}\equiv 1 \pmod{\frac{L}{d}}\) 也成立，那么就说明 \(10^{r} \equiv 1\pmod{\frac{L}{d}}\)，但是 \(0<r<x_0\) 所以有更小的正整数解，所以最小正整数解一定是欧拉函数解的因数。

那么我们枚举 \(phi(\frac{L}{d})\) 的因数即可，用快速幂，这样的复杂度是 \(O(\sqrt{\phi(\frac{L}{\gcd(L,8)})} \times \log \phi(\frac{L}{\gcd(L,8)})\) 的，可以接受，大概是 \(9 \times 10^5\) 的。