NC312223 小橙的异或和

题意

题目本身就极其简洁

解题思路

这题需要在线维护操作一，不妨尝试手动用操作一，操作一段数，会发现除了a[l]，其他都至少被除以2了（其实是，除以2， 3， 4， 5），又发现是下取整，也就是说，这个对于每个a[i]只要不一直在a[l]的位置上，在\(log(a[i])\)的次数内，一定会变成0，又因为这是异或和，是否异或0对结果是不会造成影响的。

所以在操作一（0除以任何不为0的数都为0）与操作二（0对异或和不造成影响）都是可以忽略0的。

因为a[i]最大是1e9，也就是只要同一个a[i]没有一直为a[l]的话，每一个a[i]变成0的次数的上限就是\(log(a[i])\),a[i] = 1e9时，这个数大概是30，也就是每一个数字被操作了30以下后（不是一直为a[l]），就变成0了，就可以被跳过了。

那如果操作一区间长度一直是1，怎么办？这样数组一直都不会变，那操作二每次遍历整个数组会不会超时？

结论是，对于操作二，每次操作如果遍历整个数组得到结果的话，必然超时（与下面的做法相比，做了大量重复操作，没有被修改的数字也要重新参与计算）。

为了解决这个情况，不妨维护一个ans，初始化为一开始整个数组的异或和。

在执行操作一的修改每个a[i]的过程中，可以这样：

ans ^= a[i]; // 消除修改前a[i]对ans的影响。
a[i] = a[i] / (i - l + 1); // 修改a[i]。
ans ^= a[i]; // 让新的a[i]对异或和造成影响。

这种情况，让区间少，修改就也少，避免了重复修改带来的时间累赘。

那如何跳过0呢，传统的遍历最多碰到0不执行，但是仍然会遍历到啊？

用并查集。

为什么是并查集呢？因为他把形如000...（一推0）X（末尾）看作了一个整体（X为正整数）,而x就是这个并查集的代表元。

如果这个x的下标为i，那么find(i + 1) 就直接找到了，下一段的代表元，从而绕过了0。

如下图这样。

这会有一种边界情况，比如全0了，代表元是谁？

创建虚拟节点n + 1,他的下标超过了所有区间的r，因此到这时，所有操作一会被直接跳过。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
constexpr int N = 2e5 + 2;   
int a[N], fa[N];

int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        ans ^= a[i];
        fa[i] = i;
    }
    fa[n + 1] = n + 1;
    
    while (q--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            for (int i = find(l); i <= r; i = find(i + 1)) {
                ans ^= a[i];
                a[i] = a[i] / (i - l + 1);
                ans ^= a[i];
                if (!a[i]) fa[i] = find(i + 1);
            }
        } else {
            cout << ans << '\n';
        }
    }
}

难点

1.想到用并查集解决跳过元素。

总结

1.如果需要的结果是异或和，遇到修改一个a[i]，然后得到修改后的异或和的题目，不用重新遍历求结果，可以利用异或两个一样的数等于没有异或。

2.遇到需要跳过（忽略）元素的题目，可以用并查集。让需要忽略的元素连接上代表元，跳过忽略的也就是查找后面的代表元，也就是跳过无效的不好想，就看看能不能找到下一个有效的（有点类似正难即反，而并查集的运用感觉有一点像分段（不要只专注元素个体，更要关注元素与元素之间的联系，比如他们同处同一个连续段、相邻等关系））。

对以后做题的启发

当一个区间操作会使元素值快速衰减到某个稳定状态（如零）时，可以用并查集维护‘下一个有效位置’，跳过已稳定的元素，从而将暴力遍历优化到近乎线性。

这题有一个不到 $ log $ 的”log“。