感性理解二项式反演

感性理解二项式反演

设\(f_{i}\)为至少满足i个条件的方案数//可能在实际意义上会有重
设\(g_{i}\)为恰好满足i个条件的方案数
则\(f_{i}=\sum_{j=i}^{n}C_{j,i}g_{j}\)

\(g_{i}=\sum_{j=i}^{n}C_{j,i}*(-1)^{j-i}*f_{i}\)

感性证明：

正常求的话就是让\(g_{i}=f_{i}\)，但是这显然是错的，因为可能会有满足大于i的方案被计算在内。

所以需要减掉\(a*f_{i+1}\)，而咱们考虑\(a\)的数量，即重的数量。

考虑到原式子满足\(i+1\)个条件的方案会被计算\(C_{i+1,i}\)次，所以\(a=C_{i+1,i}\)

但是还会减多，所以就需要进一步容斥，如此反复，就可以得到定理的式子

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