一般拓扑学基础（1）

命题：紧空间的闭子集是紧的

证明：设 X 是紧致拓扑空间，A 是 X 中的闭子集。设 { M_i } 是 A 的任一开覆盖，则 T = { M_i，A^c } 是 X 的一个开覆盖。 因为 X 是紧致的，所以存在 T 的有限子集 S 覆盖 X，当然 S 也覆盖 A。注意到 可以取这样的 S 使得 A^c ∉ S，那么 S 就是 { M_i } 的有限子集了，并且覆盖 A。A 的紧致性得证。