LGP4719 [LG TPLT] DDP EasyVer 学习笔记

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题意简述

给定 \(n\) 个点的树一棵，每个点有点权。\(m\) 次单点修点权，在每次操作之后求出这棵树最大权独立集的权值大小。

\(1\le n,m\le 10^5\)。保证整棵树的点权和始终不大于 \(10^9\)。

做法解析

如果不带修就是 \(\texttt{LGP1352}\)。此不赘述。

但是带修呢？首先我们发现单点修改 \(a_u=x\) 只会改变 \(u\) 到根直链上所有点的 \(\texttt{DP}\) 值。我们最容易想到的就是树剖。剖完之后 \(O(\log n)\times k\) 做修改。

那么对于剖出来的每一段链，我们要怎么做修改呢？如果这条链很长很长，有 \(O(n)\) 那么长，我们总不能 \(O(n)\) 地做修改吧。就是说，上面那个 \(k\) 也得控制在 \(O(\log n)\times k'\) 这个水平（毕竟 \(10^5\) 就是标准的双老葛带常熟的复杂度）。

我们先把 \(\texttt{LGP1352}\) 的转移柿子写一下。定义 \(f_{u,0/1}\) 为不选或选 \(u\) 号点时，\(u\) 子树的最大权独立集。则有：\(f_{u,0}=\sum\max(f_{v,0},f_{v,1})\)，\(f_{u,1}=w_u+\sum f_{v,0}\)。

我们发现，如果我们使用这个式子就必须要一步一步推上去。这显然不能接受。现在我们想要让 \(\texttt{DP}\) 的转移满足结合律，我们要怎么做？当然是把 \(\texttt{DP}\) 转移写成矩阵！

首先，以防你忘记了矩阵乘法，下面几张图将展示一个对其最简单的理解：

最后我们就很好理解 \(C_{i,j}=\sum_{k=1}^n A_{i,k}\times B_{k,j}\)（我们在实际应用场景中令先被乘的那个是 \(A\)，就这样）。注意矩阵乘法并不满足交换律。所以线段树维护的时候要用右区间的矩阵乘左区间的（因为同一条重链下右区间比左区间对应的原树上结点深度更深）。

上文“先乘”的意思：结果的行数继承先乘的那个矩阵。反之，结果的列数继承后乘的。

不过，广义的矩阵乘法还可以长成别的样子。我们把上面那个矩阵乘法叫做 \(\{+,\times\}\) 矩阵乘法，前面那个“加”意为对所有 \(k\) 的柿子求和，后面那个“乘”意为 \(A,B\) 取出的元素做乘法运算。那么，这题需要怎样的矩阵乘法呢？

我们拿出 \(\{\max,+\}\) 矩阵乘法。这个矩阵乘法也满足结合律（我暂时不会证明）。现在开始造矩阵吧。

当然，我们首先得处理一个 \(g_{u,0/1}\)，也即不考虑重儿子的 \(f\) 数组出来（必要性显然，你实际上是从重链往上做的，当然要将重儿子 \(h\) 的结果和轻儿子们的结果分离一下）。于是我们有：\(f_{u,0}=g_{u,0}+\max(f_{h,0},f_{h,1})\)，\(f_{u,1}=g_{u,1}+f_{h,0}\)。

然后开造矩阵。我们要造的东西形状如下：

\[\begin{bmatrix}{f_{u,0}}&{f_{u,1}}\end{bmatrix}=U\otimes\begin{bmatrix}{f_{h,0}}&{f_{h,1}}\\c&d\end{bmatrix} \]

这里后者先乘。外面没套 \(\max\) 就意味着 \(k\) 取 \(1\) 或 \(2\) 结果相同。基于此，我们需要满足：\(f_{u,0}=\max(f_{h,0}+U_{1,1},f_{h,1}+U_{2,1})\)，\(f_{u,1}=\max(c+U_{1,2},d+U_{2,2})\)。再加上我们要让 \(U\) 只含 \(g\)，所以我们自然有：\(U_{1,1}=U_{2,1}=g_{u,0}\)，\(c=f_{h,0}\)，\(U_{1,2}=g_{u,1}\)。

最后我们可以写出：

\[\begin{bmatrix}{f_{u,0}}&{f_{u,1}}\\f_{u,0}&f_{u,1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{g_{u,0}}&{g_{u,1}}\\{g_{u,0}}&-\infty\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}{f_{h,0}}&{f_{h,1}}\\f_{h,0}&-\infty\end{bmatrix} \]

好，现在知道线段树要维护什么了吧。总时间复杂度 \(O(2^3m\log^2n)\)。

代码实现